Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Aritmética modular


La aritmética modular es un concepto que tiene raíces profundas en la teoría de números y se utiliza en varios campos como la criptografía, la informática, e incluso en la vida diaria. En términos elementales, la aritmética modular se ocupa del resto obtenido de la división de enteros. Nos introduce a un mundo donde los números se mueven cuando alcanzan un cierto valor, conocido como el módulo.

Entendiendo el concepto

Para entender la aritmética modular, imagina un reloj. Un reloj tiene 12 dígitos del 1 al 12, y da vuelta después de alcanzar el 12. Si sumas 5 horas a las 10 en punto, no obtienes las 15 en punto, sino las 3 en punto. Esto se debe a que 15 mod 12 es 3. Por lo tanto, el reloj es un ejemplo perfecto de sumas en aritmética modular donde el módulo es 12.

 10 + 5 = 15
15 % 12 = 3

En la aritmética modular, a menudo usamos la notación a ≡ b (mod m), que se lee como "a es equivalente a b mod m". Esto significa que cuando a se divide por m, el resto es b.

Principios básicos

Vamos a aprender algunas reglas y propiedades básicas de la aritmética modular. Estas reglas son importantes para trabajar con el módulo y ayudan a simplificar cálculos complejos.

Congruencia

El concepto clave en la aritmética modular es la congruencia. Dos enteros a y b son congruentes módulos m si tienen el mismo resto al dividir por m. Matemáticamente, esto se representa como:

 a ≡ b (mod m) si y sólo si (a - b) es divisible por m

Ejemplo: Para determinar si 38 es congruente con 14, calculamos:

 38 % 12 = 2
14 % 12 = 2

Como ambos dan restos 2, concluimos que 38 ≡ 14 (mod 12).

Suma y resta

Puedes realizar sumas y restas bajo el módulo, al igual que la aritmética regular. Además, la idea sigue siendo que el resultado puede "envolverse".

 (a + b) % m = [(a % m) + (b % m)] % m
(a - b) % m = [(a % m) - (b % m)] % m

Ejemplo: Calcula (7 + 6) mod 5.

 7 % 5 = 2
6 % 5 = 1
(7 + 6) % 5 = (2 + 1) % 5 = 3

El mismo principio se aplica a la resta. Vamos a calcular (15 - 8) mod 4.

 15 % 4 = 3
8 % 4 = 0
(15 – 8) % 4 = (3 – 0) % 4 = 3

Multiplicación y división

Multiplicación

Al igual que la suma y la resta, la multiplicación en aritmética modular sigue una regla similar. Multiplicas los números y luego tomas el módulo:

 (a * b) % m = [(a % m) * (b % m)] % m

Ejemplo: Calcula (10 * 3) mod 7.

 10 % 7 = 3
3 % 7 = 3
(10 * 3) % 7 = (3 * 3) % 7 = 9 % 7 = 2

División

La división en aritmética modular es más complicada porque la división directa no está definida generalmente. En su lugar, trabajamos con el concepto de inverso modular. El inverso de un número a módulo m es un número b tal que:

 (a * b) % m = 1

Cuando este inverso existe, dividir por a es equivalente a multiplicar por el inverso.

Ejemplo: Para encontrar el inverso de 3 módulo 7, necesitamos 3 * b ≡ 1 (mod 7). Probando los valores obtenemos:

 3 * 5 = 15
15 % 7 = 1

Por lo tanto, 5 es el inverso de 7 con respecto a 3.

Representación visual

Para hacer más comprensible la aritmética modular, vamos a representarla visualmente con una línea de números y moduli:

0 1 2 3

Imagina la línea de números anterior como los números en aritmética modular (representados aquí considerando números módulo como 0, 1, 2, etc.). Los números repiten el patrón cuando se desvían por el módulo, por ejemplo, 12 ≡ 0 (mod 12), 13 ≡ 1 (mod 12), y así sucesivamente.

Aplicaciones de la aritmética modular

La aritmética modular no es solo teórica, también tiene muchas aplicaciones prácticas. Aquí algunos ejemplos:

Criptografía

Una de sus aplicaciones fundamentales está en la criptografía, particularmente en la generación de claves y en algoritmos de encriptación como RSA. Las propiedades de la aritmética modular aseguran una encriptación de datos segura.

Funciones de hash

Esto es necesario para crear funciones de hash en informática, donde se calculan cadenas de bytes de tamaño fijo (el valor hash) a partir de algunos datos arbitrarios (la entrada hash).

Detección de errores

La aritmética modular ayuda en algoritmos de detección y corrección de errores, en particular en sumas de verificación, que utilizan módulos para verificar la integridad de los datos. Un uso común es en ISBN donde la aritmética modular se implementa con algoritmos apropiados.

Conclusión

Entender la aritmética modular es importante para explorar conceptos matemáticos más avanzados y apreciar sus diversas aplicaciones en la vida real. Simplifica muchas operaciones aritméticas y proporciona un marco para analizar números basados en restos. A medida que profundizas más en este tema, su poder y versatilidad en la resolución de una amplia gama de problemas ofrece profundas percepciones en el campo de la teoría de números.


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