Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Divisibilidad en la teoría de números elemental


La divisibilidad es uno de los conceptos fundamentales en la teoría de números elemental, una rama de las matemáticas que trata con las propiedades y relaciones de los números. Forma la base para una amplia gama de ideas matemáticas y es esencial para comprender temas más avanzados. En esta lección, profundizaremos en el concepto de divisibilidad, explorando sus definiciones, propiedades, teoremas y aplicaciones con muchos ejemplos y explicaciones.

Entendiendo la divisibilidad

En términos simples, se dice que un número a es divisible por otro número b si a puede dividirse por b sin dejar un residuo. A menudo escribimos esta relación como:

a = b × k

donde k es un entero. Si existe un entero k tal, entonces decimos que b divide a a, y lo escribimos como:

b | a

Por ejemplo, consideremos los números 10 y 5. Podemos decir que 5 divide a 10 porque:

10 = 5 × 2

En este ejemplo, k = 2, que es un entero, y por lo tanto la afirmación 5 | 10 es verdadera.

Propiedades de la divisibilidad

Existen muchas propiedades importantes de la divisibilidad que pueden ser muy útiles para resolver problemas. Aquí, enumeramos y explicamos algunas de estas propiedades:

  • Propiedad reflexiva: Cualquier entero a es divisible por sí mismo. Matemáticamente, expresamos esto como:
    a | a
    Esto es porque a = a × 1.
  • Propiedad transitiva: Si a | b y b | c, entonces a | c. En otras palabras, la divisibilidad es transitiva. Por ejemplo, si 2 divide a 4, y 4 divide a 12, entonces 2 divide a 12.
  • Propiedad de multiplicación: Si a | b, entonces para cualquier entero c, a | (b × c). Esto significa que el número b multiplicado por cualquier entero c también da un múltiplo de a.
  • Propiedad aditiva: Si a | b y a | c, entonces a | (b + c). Esto muestra que si a divide dos números, también divide su suma.

Hipótesis de divisibilidad

Intentemos entender el concepto de divisibilidad usando un ejemplo simple. Consideremos el número 12 y sus divisores.

12 = 1 × 12
12 = 2 × 6
12 = 3 × 4

Estas divisiones están representadas aquí:


    
    1
    
    2
    
    3
    
    4
    
    
    6
    
    12

Estas cajas representan los factores de 12, y claramente representan los pares de números que dividen a 12 sin un residuo: 1 × 12, 2 × 6 y 3 × 4.

Prueba de divisibilidad normal

Existen algunas pruebas rápidas o reglas que pueden ayudar a determinar si un número es divisible por otro número. Estas pruebas a menudo involucran trucos aritméticos.

Divisibilidad por 2

Un número es divisible por 2 si termina en un dígito par (0, 2, 4, 6, 8). Por ejemplo, 14, 26 y 38 son todos divisibles por 2.

Divisibilidad por 3

Para verificar si un número es divisible por 3, suma todos sus dígitos. Si el resultado es divisible por 3, entonces el número también lo es. Por ejemplo, para el número 123, tenemos:

1 + 2 + 3 = 6

Como 6 es divisible por 3, 123 también lo es.

Divisibilidad por 5

Si un número termina en 0 o 5, entonces es divisible por 5. Por ejemplo, 20 y 35 son divisibles por 5.

Aplicación de la divisibilidad en la resolución de problemas

Los principios de divisibilidad se utilizan a menudo para resolver problemas matemáticos, especialmente problemas que involucran enteros. Aquí hay algunos ejemplos:

Problema de ejemplo 1

Determine si el número 1872 es divisible por 9 o no.

Solución: para la divisibilidad por 9, sume todos los dígitos y verifique si el resultado es divisible por 9 o no.

1 + 8 + 7 + 2 = 18

Como 18 es divisible por 9, 1872 también lo será.

Problema de ejemplo 2

Pruebe que si a es divisible por m y b es divisible por m, entonces a + b también es divisible por m.

Solución: sea a = m × k_1 y b = m × k_2 para algunos enteros k_1 y k_2. Entonces:

a + b = m × k_1 + m × k_2
      = m × (k_1 + k_2)

Como k_1 + k_2 es un entero, a + b es claramente divisible por m.

Comentarios finales sobre la divisibilidad

La divisibilidad es una parte importante de la teoría de números que tiene implicaciones de gran alcance en varios campos de las matemáticas, la informática y la ingeniería. Comprender las propiedades, pruebas y aplicaciones de la divisibilidad nos equipa con el conocimiento que ayuda a resolver problemas matemáticos complejos de manera eficiente.

A medida que continúes estudiando en profundidad la teoría de números, las reglas de factorización, múltiplos y divisibilidad se repetirán constantemente, demostrando su papel indispensable en la comprensión del mundo matemático.


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