Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура ↓


Геометрия


Геометрия — это раздел математики, изучающий размер, форму, свойства и размеры объектов и пространств. Это одно из самых старых направлений математической науки, имеющее приложения во многих областях, включая искусство, архитектуру, инженерное дело, физику и компьютерные науки.

Введение в геометрию

Слово «геометрия» происходит от двух греческих слов: «гео», означающего «земля», и «метрон», означающего «измерение». Таким образом, геометрия изначально была связана с измерением и отношениями земли и пространства. На протяжении веков она стала обширной дисциплиной, включающей абстрактные концепции и модели.

Основные концепции

Геометрия включает в себя понимание и представление характеристик, размеров и форм фигур и пространств. В основном она имеет дело с точками, линиями, поверхностями, углами и телами.

Точки

В геометрии точка — это место, которое не имеет ни размера, ни формы, ни измерений. Она лишь представляет позицию в пространстве.

Линии

Линия — это одномерная фигура, которая продолжается бесконечно в обоих направлениях. Вот простое представление линии:

Линию можно определить с помощью двух точек. Например, линию L можно описать двумя точками ( P_1 ) и ( P_2 ).

Углы

Угол образуется двумя лучами, которые имеют общую вершину. Эта вершина называется вершиной угла. Углы обычно измеряются в градусах.

θ

На графике выше угол θ представляет величину поворота между двумя линиями, исходящими из общей точки.

Типы геометрии

Геометрию можно в широком смысле разделить на несколько типов:

Евклидова геометрия

Названная в честь греческого математика Евклида, эта форма геометрии изучает плоские (двумерные) и пространственные (трехмерные) пространства. Она включает изучение точек, линий и поверхностей в различных комбинациях.

Здесь в евклидовом пространстве показан круг и его радиус. Красота Евклидовой геометрии заключается в ее простоте и логических заключениях, которые можно сделать из основных принципов.

Неевклидова геометрия

Неевклидова геометрия возникает, когда меняется теория параллельности Евклидовой геометрии. Типы неевклидовой геометрии включают гиперболическую и эллиптическую геометрию, исследующие изогнутые поверхности.

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия, часто называемая координатной геометрией, использует алгебраические уравнения для описания геометрических задач. Декартова система координат — важная часть аналитической геометрии, позволяющая геометрию переводить в алгебру.

Плоская геометрия

Плоская геометрия включает формы, такие как круги, треугольники и квадраты, которые могут быть начерчены на плоской поверхности. В плоской геометрии мы в основном работаем с двумя измерениями: длиной и шириной.

Треугольник

Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами и тремя вершинами. Сумма внутренних углов треугольника в евклидовом пространстве всегда равна 180 градусам.

Треугольники классифицируются в зависимости от их сторон и углов. Например:

  • Равносторонний треугольник имеет все три стороны равные, а углы равны 60 градусам.
  • Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны.
  • Разносторонний треугольник имеет все стороны разной длины.

Пространственная геометрия

Пространственная геометрия занимается трехмерными объектами, такими как кубы, призмы, пирамиды, сферы и цилиндры. Эти фигуры занимают объем и имеют поверхности.

Кубы

Куб — это трехмерная фигура с шестью равными квадратными гранями, восемью вершинами и двенадцатью ребрами.

В показанном кубе каждая грань образует квадрат, и все углы между гранями являются прямыми.

Заключение

Геометрия — это фундаментальная область математики, которая занимается не только рисованием и измерением, но и пониманием пространственных отношений между различными формами и формами. Она предоставляет нам инструменты для вывода свойств и решения сложных задач в различных предметах.


Докторантура → 4


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (3.3.4)
Понимание дифференциальных форм
следующая (4.1) →
Дифференциальная геометрия

комментарии 



Геометрия

https://www.buddymath.com/phd/4?bmal=ru