Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

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Geometria


Geometria é um ramo da matemática que estuda o tamanho, forma, propriedades e dimensões de objetos e espaços. É um dos campos mais antigos da ciência matemática e tem aplicações em muitos campos, incluindo arte, arquitetura, engenharia, física e ciência da computação.

Introdução à geometria

A palavra "geometria" vem de duas palavras gregas: "geo", que significa "terra", e "metron", que significa "medição". Portanto, a geometria estava originalmente preocupada com a medição e as relações de terra e espaço. Ao longo dos séculos, tornou-se uma vasta disciplina que envolve conceitos e modelos abstratos.

Conceitos básicos

A geometria envolve entender e representar as características, tamanhos e formas de figuras e espaços. Principalmente, lida com pontos, linhas, superfícies, ângulos e sólidos.

Ponto

Na geometria, um ponto é um local que não possui tamanho, forma ou dimensões. Ele apenas representa uma posição no espaço.

Linhas

Uma linha é uma figura unidimensional que se estende indefinidamente em ambas as direções. Aqui está uma representação simples de uma linha:

Uma linha pode ser definida por dois pontos. Por exemplo, a linha L pode ser descrita por dois pontos ( P_1 ) e ( P_2 ).

Ângulos

O ângulo é formado por dois raios que compartilham um ponto final comum. Esse ponto final é chamado de vértice do ângulo. Ângulos são geralmente medidos em graus.

θ

No gráfico acima, o ângulo θ representa a quantidade de rotação entre duas linhas que emanam de um ponto comum.

Tipos de geometria

A geometria pode ser amplamente dividida em vários tipos:

Geometria euclidiana

Nomeada em homenagem ao matemático grego Euclides, esta forma de geometria trata de espaços planos (bidimensionais) e sólidos (tridimensionais). Envolve o estudo de pontos, linhas e superfícies em várias combinações.

Aqui, no espaço euclidiano, um círculo e seu raio são mostrados. A beleza da geometria euclidiana reside em sua simplicidade e nas conclusões lógicas que podem ser tiradas de princípios básicos.

Geometria não euclidiana

A geometria não euclidiana surge quando a teoria de paralelismo da geometria euclidiana é alterada. Tipos de geometria não euclidiana incluem geometria hiperbólica e elíptica, que exploram superfícies curvas.

Geometria analítica

A geometria analítica, muitas vezes chamada de geometria coordenada, usa equações algébricas para descrever problemas geométricos. O sistema de coordenadas cartesianas é uma parte importante da geometria analítica, permitindo que a geometria seja traduzida em álgebra.

Geometria plana

A geometria plana inclui formas como círculos, triângulos e quadrados que podem ser desenhados em uma superfície plana. Na geometria plana, lidamos principalmente com duas dimensões: comprimento e largura.

Triângulo

Um triângulo é um polígono com três lados e três vértices. A soma dos ângulos internos de um triângulo no espaço euclidiano é sempre igual a 180 graus.

Os triângulos são classificados com base em seus lados e ângulos. Por exemplo:

  • Um triângulo equilátero tem todos os três lados iguais e ângulos iguais a 60 graus.
  • Um triângulo isósceles tem dois lados iguais.
  • Um triângulo escaleno tem todos os seus lados de comprimentos diferentes.

Geometria sólida

A geometria sólida trata de objetos tridimensionais, como cubos, prismas, pirâmides, esferas e cilindros. Essas formas ocupam um volume e possuem superfícies.

Cubos

Um cubo é uma forma tridimensional com seis faces quadradas iguais, oito vértices e doze arestas.

No cubo mostrado, cada face forma um quadrado e todos os ângulos entre as faces são ângulos retos.

Conclusão

A geometria é uma área fundamental da matemática que não é apenas sobre desenho e medição, mas também sobre entender a relação espacial entre diferentes formas e formas. Ela nos equipa com as ferramentas para deduzir propriedades e resolver problemas complexos em várias disciplinas.


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