计算几何
计算几何是一个位于数学和计算机科学交叉点的迷人研究领域。它涉及可以几何地表达的算法的研究。虽然几何传统上涉及形状、大小和空间性质的研究，但计算几何更关注于解决复杂几何问题的算法方面。该领域通常涉及在计算机环境中创建、研究和应用几何。
什么是计算几何？
计算几何的核心是开发有效的算法来解决用基本几何对象描述的问题。这意味着与各种维度的点、线、面和多面体进行工作，并应用几何原理来解决涉及这些对象的问题。
计算几何的应用
计算几何在多个领域具有广泛的实际应用，包括计算机图形学、机器人技术、CAD/CAM系统、地理信息系统（GIS）以及诸如GPS制图日常技术。以下是一些主要应用：
- 计算机图形：在计算机上渲染图形需要应用几何原则来确定如何建模和转换形状、阴影和其他图形元素。
- 机器人技术：机器人中的路径寻找和障碍物避免涉及地理计算，需要强大的几何算法。
- 地理信息系统（GIS）：算法通常用于地图制图和空间分析中的地理数据处理。
基本几何对象
要深入了解计算几何，首先必须了解在这些问题中常见的一些基本几何对象。
点
点表示空间中的一个位置。在二维空间中，点由两个坐标(x, y)定义，而在三维空间中，它是(x, y, z)。
// 二维点的示例
Point = (3, 4)
// 三维点的示例
Point = (3, 4, 5)
线
线被定义为两个点之间的直接连接。在二维空间中，线可以表示为以下形式的方程：
y = mx + c其中m是斜率，c是y截距。
计算几何中的关键概念
凸包
计算几何中研究最简单和最广泛的问题之一是寻找一组点的凸包。凸包被定义为可以包围所有给定点的最小凸形状。想象在一块板上用橡皮筋围住所有突出的钉子 - 橡皮筋所呈现的形状提供了一个很好地表示凸包的视觉表现。
// 找到凸包的算法会给出外部多边形
ConvexHull = { (50,50), (150,50), (150,150), (50,150) }
三角剖分
计算几何中的另一个重要概念是多边形的三角剖分。简单来说，三角剖分意味着将多边形划分为较小的三角形，因为三角形更易于处理。
// 三角剖分将多边形划分成三角形
Triangles = { (20,180), (100,20), (50,100) } { (180,180), (100,20), (150,100) }
Voronoi图
Voronoi图是一种基于从特定点集的距离来划分平面的方式。例如，给定一组“种子”点，平面上的每个位置都与离它最近的种子点相结合。这会形成区域，每个区域对应一个种子点。
算法复杂度
高效的算法设计在计算几何中至关重要。为了有效地实现算法，我们需要考虑时间复杂度（计算时间如何随输入规模增长）和空间复杂度（内存需求如何增长）。
几何算法示例
1. 用于凸包的Graham扫描算法
Graham扫描是一种用于寻找一组点的凸包的有效算法。它通过按角度顺序对点进行排序，然后扫描列表以创建包。
function GrahamsScan(points):
// 根据y坐标和x坐标对点进行排序
sorted_points = SortByAngle(points)
hull = []
for point in sorted_points:
while hull contains a right turn:
hull.pop()
hull.append(point)
return hull
2. Delaunay三角剖分
与Voronoi图相关，在Delaunay三角剖分中，每个点与其最近的邻点配对，使得三角剖分中的任何三角形都不包含其他点在其外接圆内。
function DelaunayTriangulation(points):
Create an initial triangulation
for each point in points:
Add the point to the triangulation
Update the edges to maintain Delaunay condition
return triangulation
结论
计算几何是一个丰富而多样的领域，对计算机科学和数学的理论和应用领域具有重要影响。理解该领域的关键概念使我们能够解决复杂的空间数据、游戏、模拟、机器人技术等相关的问题。随着计算能力和技术的进步，计算几何领域在未来有许多激动人心的可能性。
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