Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

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Geometria Computacional


A geometria computacional é um campo de estudo fascinante na interseção da matemática e da ciência da computação. Envolve o estudo de algoritmos que podem ser expressos geometricamente. Enquanto a geometria tradicional envolve o estudo de formas, tamanhos e propriedades do espaço, a geometria computacional foca mais nos aspectos algorítmicos de resolução de problemas geométricos complexos. Este campo está frequentemente preocupado com a criação, estudo e aplicação da geometria em um ambiente computacional.

O que é geometria computacional?

No seu cerne, a geometria computacional está preocupada com o desenvolvimento de algoritmos eficientes para a solução de problemas descritos em termos de objetos geométricos básicos. Isso significa trabalhar com pontos, linhas, superfícies e poliedros em várias dimensões e aplicar os princípios da geometria para resolver problemas envolvendo esses objetos.

Aplicações da geometria computacional

A geometria computacional tem uma ampla gama de aplicações práticas em vários campos, incluindo gráficos de computador, robótica, sistemas CAD/CAM, sistemas de informação geográfica (SIG) e até mesmo em tecnologias cotidianas, como mapeamento por GPS. Abaixo estão algumas das principais aplicações:

  • Gráficos de Computador: A renderização de gráficos em um computador requer a aplicação de princípios geométricos para determinar como formas, sombreamento e outros elementos gráficos devem ser modelados e transformados.
  • Robótica: Encontrar caminhos e evitar obstáculos em robôs envolve cálculos geográficos que requerem algoritmos geométricos robustos.
  • Sistemas de Informação Geográfica (SIG): Algoritmos são comumente utilizados para processar dados geográficos em mapeamento e análise espacial.

Objetos geométricos básicos

Para entender a geometria computacional em profundidade, devemos primeiro compreender alguns objetos geométricos fundamentais que comumente aparecem nesses problemas.

Ponto

Um ponto representa uma localização no espaço. Em um espaço bidimensional, um ponto é definido por duas coordenadas (x, y), enquanto em um espaço tridimensional, é (x, y, z).

// Exemplo de um ponto 2D
Ponto = (3, 4)
// Exemplo de um ponto 3D
Ponto = (3, 4, 5)

Linhas

Uma linha é definida como uma conexão direta entre dois pontos. Em espaço 2D, uma linha pode ser representada como uma equação da seguinte forma:

y = mx + c

onde m é a inclinação, e c é a interceptação no eixo y.

Conceitos chave na geometria computacional

Envoltória convexa

Um dos problemas mais simples e amplamente estudados em geometria computacional é encontrar a envoltória convexa de um conjunto de pontos. A envoltória convexa é definida como a menor forma convexa que pode envolver todos os pontos dados. Imagine esticar um elástico em torno dos pregos mais externos em um tabuleiro com pregos salientes - a forma assumida pelo elástico fornece uma boa representação visual da envoltória convexa.

// Algoritmo para encontrar a envoltória convexa nos dará o polígono externo
EnvoltóriaConvexa = { (50,50), (150,50), (150,150), (50,150) }

Triangulação

Outro conceito importante em geometria computacional é a triangulação de polígonos. Em termos simples, triangulação significa dividir um polígono em triângulos menores, pois triângulos são mais fáceis de trabalhar.

// A triangulação divide o polígono em triângulos
Triângulos = { (20,180), (100,20), (50,100) } { (180,180), (100,20), (150,100) }

Diagrama de Voronoi

Um diagrama de Voronoi é uma maneira de dividir um plano em regiões com base na distância a partir de um conjunto específico de pontos. Por exemplo, dado um conjunto de pontos 'sementes', cada local no plano está associado ao ponto semente mais próximo. Isso forma regiões, e cada região corresponde a um ponto semente.

Complexidade de algoritmos

O design eficiente de algoritmos é central na geometria computacional. Para implementar algoritmos de forma eficaz, precisamos considerar a complexidade de tempo (como o tempo de computação cresce com o tamanho da entrada) e a complexidade de espaço (como os requisitos de memória crescem).

Exemplo de algoritmo geométrico

1. Algoritmo de varredura de Graham para envoltória convexa

A varredura de Graham é um algoritmo eficiente para encontrar a envoltória convexa de um conjunto de pontos. Funciona ordenando os pontos por ordem angular e, em seguida, varrendo a lista para criar a envoltória.

function VarreduraGraham(pontos): 
    // Classificar os pontos com base na coordenada y e depois por x se empatar
    pontos_ordenados = OrdenarPorÂngulo(pontos)
    envoltoria = []
    para cada ponto em pontos_ordenados:
        enquanto envoltoria contiver uma virada à direita:
            envoltoria.pop()
        envoltoria.append(ponto)
    retornar envoltoria

2. Triangulação de Delaunay

Relacionada aos diagramas de Voronoi, cada ponto na triangulação de Delaunay é emparelhado com seus vizinhos mais próximos de forma que nenhum ponto na triangulação esteja dentro do círculo circunscrito de qualquer triângulo.

function TriangulaçãoDelaunay(pontos):
    Criar uma triangulação inicial
    para cada ponto em pontos:
        Adicionar o ponto à triangulação
        Atualizar as arestas para manter a condição de Delaunay
    retornar triangulação

Conclusão

A geometria computacional é um campo rico e versátil que tem impacto significativo tanto nas áreas teóricas quanto nas aplicadas da ciência da computação e da matemática. Compreender os conceitos chave neste campo nos permite resolver problemas complexos relacionados a dados espaciais, jogos, simulações, robótica e muito mais. Com avanços no poder computacional e nas técnicas, o campo da geometria computacional tem muitas possibilidades empolgantes para o futuro.


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