Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Geometría Computacional


La geometría computacional es un campo de estudio fascinante en la intersección de las matemáticas y la informática. Involucra el estudio de algoritmos que pueden ser expresados geométricamente. Mientras que la geometría tradicionalmente involucra el estudio de formas, tamaños y propiedades del espacio, la geometría computacional se centra más en los aspectos algorítmicos de resolver problemas geométricos complejos. Este campo a menudo se preocupa por la creación, estudio y aplicación de la geometría en un entorno informático.

¿Qué es la geometría computacional?

En su núcleo, la geometría computacional se ocupa del desarrollo de algoritmos eficientes para resolver problemas descritos en términos de objetos geométricos básicos. Esto significa trabajar con puntos, líneas, superficies y poliedros en varias dimensiones y aplicar los principios de la geometría para resolver problemas que involucran estos objetos.

Aplicaciones de la geometría computacional

La geometría computacional tiene una amplia gama de aplicaciones prácticas en varios campos, incluyendo gráficos por computadora, robótica, sistemas CAD/CAM, sistemas de información geográfica (SIG), e incluso tecnologías cotidianas como el mapeo GPS. A continuación se presentan algunas de las principales aplicaciones:

  • Gráficos por Computadora: La representación de gráficos en una computadora requiere la aplicación de principios geométricos para determinar cómo deben modelarse y transformarse las formas, sombreado y otros elementos gráficos.
  • Robótica: La búsqueda de rutas y la evasión de obstáculos en robots implican cálculos geométricos que requieren algoritmos geométricos sólidos.
  • Sistemas de Información Geográfica (SIG): Los algoritmos a menudo se utilizan para procesar datos geográficos en mapeo y análisis espacial.

Objetos geométricos básicos

Para entender la geometría computacional en profundidad, primero debemos entender algunos objetos geométricos fundamentales que comúnmente aparecen en estos problemas.

Puntuación

Un punto representa una ubicación en el espacio. En un espacio bidimensional, un punto se define por dos coordenadas (x, y), mientras que en un espacio tridimensional, es (x, y, z).

// Ejemplo de un punto 2D
Point = (3, 4)
// Ejemplo de un punto 3D
Point = (3, 4, 5)

Líneas

Una línea se define como una conexión directa entre dos puntos. En un espacio 2D, una línea puede representarse como una ecuación de la siguiente forma:

y = mx + c

donde m es la pendiente, y c es la intersección y.

Conceptos clave en geometría computacional

Casco convexo

Uno de los problemas más simples y ampliamente estudiados en la geometría computacional es encontrar el casco convexo de un conjunto de puntos. El casco convexo se define como la forma convexa más pequeña que puede encerrar todos los puntos dados. Imagina estirar una banda de goma alrededor de los clavos más externos en una tabla con los clavos sobresaliendo: la forma asumida por la banda de goma proporciona una buena representación visual del casco convexo.

// El algoritmo para encontrar el casco convexo nos dará el polígono exterior
ConvexHull = { (50,50), (150,50), (150,150), (50,150) }

Triangulación

Otro concepto importante en la geometría computacional es la triangulación de polígonos. En términos simples, la triangulación significa dividir un polígono en triángulos más pequeños, ya que los triángulos son más fáciles de manejar.

// La triangulación divide el polígono en triángulos
Triangles = { (20,180), (100,20), (50,100) } { (180,180), (100,20), (150,100) }

Diagrama de Voronoi

Un diagrama de Voronoi es una forma de dividir un plano en regiones basadas en la distancia desde un conjunto específico de puntos. Por ejemplo, dado un conjunto de puntos 'semilla', cada ubicación en el plano se asocia con el punto de semilla más cercano a ella. Esto forma regiones, y cada región corresponde a un punto de semilla.

Complejidad del algoritmo

El diseño de algoritmos eficientes es central en la geometría computacional. Para implementar algoritmos de manera efectiva, necesitamos considerar la complejidad del tiempo (cómo crece el tiempo de computación con el tamaño de entrada) y la complejidad del espacio (cómo crecen los requisitos de memoria).

Ejemplo de algoritmo geométrico

1. Algoritmo de escaneo de Graham para el casco convexo

El escaneo de Graham es un algoritmo eficiente para encontrar el casco convexo de un conjunto de puntos. Funciona ordenando los puntos por orden angular y luego escaneando la lista para crear el casco.

function GrahamsScan(points): 
    // Ordenar los puntos basado en coordenada y por x si está empatado
    sorted_points = SortByAngle(points)
    hull = []
    for point in sorted_points:
        while hull contiene un giro a la derecha:
            hull.pop()
        hull.append(point)
    return hull

2. Triangulación de Delaunay

Relacionada con los diagramas de Voronoi, cada punto en la triangulación de Delaunay se empareja con sus vecinos más cercanos de manera que ningún punto en la triangulación se encuentra dentro del círculo circunscrito de ningún triángulo.

function DelaunayTriangulation(points):
    Crear una triangulación inicial
    para cada punto en puntos:
        Agregar el punto a la triangulación
        Actualizar los bordes para mantener la condición de Delaunay
    return triangulación

Conclusión

La geometría computacional es un campo rico y versátil que tiene un impacto significativo tanto en el área teórica como aplicada de la informática y las matemáticas. Comprender los conceptos clave en este campo nos permite resolver problemas complejos relacionados con datos espaciales, juegos, simulaciones, robótica y mucho más. Con los avances en el poder y las técnicas computacionales, el campo de la geometría computacional tiene muchas posibilidades emocionantes en el futuro.


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