Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Геометрия → Вычислительная геометрия ↓


Геометрические алгоритмы


Геометрические алгоритмы находятся в основе вычислительной геометрии, области, которая объединяет информатику и математику. Эти алгоритмы занимаются изучением и манипулированием геометрическими объектами, такими как точки, линии, многоугольники и многогранники. Они важны в различных приложениях, включая компьютерную графику, робототехнику, географические информационные системы (ГИС) и системы автоматизированного проектирования (САПР).

Обзор геометрических объектов и операций

Прежде чем углубиться в конкретные алгоритмы, давайте поймем основные геометрические объекты, с которыми мы работаем:

  • Точка: Самый простой геометрический объект, определяемый координатами в пространстве, таком как 2D или 3D.
  • Линии: Бесконечный ряд точек, простирающийся в обоих направлениях, обычно определяемый линейным уравнением.
  • Отрезок: Часть линии, ограниченная двумя конечными точками.
  • Многоугольники: Замкнутые, многосторонние фигуры на плоскости. Треугольники, квадраты и пятиугольники являются примерами.
  • Многогранники: 3D-эквиваленты многоугольников, такие как кубы и пирамиды.

Геометрические операции часто включают проверку пересечений, вычисление расстояний, нахождение выпуклых покрытий или выполнение преобразований, таких как перенос, вращение и масштабирование. Вот простой пример вычисления расстояния между двумя точками:

Расстояние = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Основные геометрические алгоритмы

Выпуклая оболочка

Выпуклая оболочка множества точек — это наименьший выпуклый многоугольник, который охватывает все точки. Это часто сравнивается с растягиванием резинки вокруг крайних точек. Наиболее распространенные алгоритмы для нахождения выпуклой оболочки — это алгоритмы Грэма и Джарвиса (также известный как алгоритм обёртывания подарка).

Вот пример того, как точки заключены в выпуклую оболочку:

Пересечение отрезков

Обнаружение пересечения двух отрезков является фундаментальной задачей в вычислительной геометрии, с приложениями, начиная от компьютерной графики и заканчивая планированием пути в робототехнике. Алгоритм Бентли—Оттмана известен как решение для эффективного сообщения обо всех пересечениях в наборе отрезков.

Рассмотрим два отрезка AB и CD. Если они пересекаются, пересечение можно найти, решая эти линейные уравнения:

A = (x1, y1), B = (x2, y2) 
C = (x3, y3), D = (x4, y4) 
AB: y = mx + c 
CD: y = nx + k 
Пересечение происходит, когда: mx + c = nx + k

Диаграмма Вороного

Диаграмма Вороного делит плоскость на области, основанные на расстоянии до заданного множества точек. Каждая область соответствует точке и содержит все местоположения, ближе к этой точке, чем к какой-либо другой. Эти диаграммы полезны в различных областях, включая метеорологию и городское планирование.

Простая иллюстрация диаграммы Вороного с 4 точками:

Продвинутые темы в геометрических алгоритмах

Триангуляция

Триангуляция — это деление многоугольника на неперекрывающиеся треугольники. Этот процесс важен для метода конечных элементов в графической визуализации и инженерных симуляциях. Полученные треугольники формируют сетку, которую легко манипулировать и анализировать.

Сохранение многоугольника выпуклым при триангуляции снижает сложность:

Квадродеревья и октодеревья

Квадродеревья (в 2D) и октодеревья (в 3D) — это древовидные структуры данных, используемые для разбиения пространств с целью поддержки эффективного пространственного поиска. Эти структуры могут улучшить производительность алгоритмов, работающих с большими наборами точек, быстро удаляя большие области пространства при поиске точек.

Трассировка лучей и вычисления в графике

Трассировка лучей — это техника рендеринга, имитирующая взаимодействие света с объектами для создания реалистичных изображений. Алгоритмы вычисляют путь лучей при их пересечении с поверхностями, отслеживая их назад от глаза к источнику света. Этот процесс включает в себя несколько тестов на пересечение и демонстрирует красоту геометрических алгоритмов в практических приложениях.

Применение геометрических алгоритмов

Геометрические алгоритмы важны в многих областях. Вот как они способствуют различным приложениям:

Компьютерная графика

В графике геометрические алгоритмы используются для моделирования, трансформации и визуализации изображений. Триангуляция и растеризация часто используются для преобразования векторной графики в растровые изображения.

Робототехника

В робототехнике геометрические алгоритмы используются для планирования маршрута и избегания препятствий, обеспечивая возможность эффективной навигации роботов в среде. Алгоритмы обнаружения столкновений особенно важны.

Географические информационные системы (ГИС)

ГИС значительно выигрывают от геометрических алгоритмов при управлении пространственными данными - анализе и визуализации географической информации. От определения политических границ с помощью диаграмм Вороного до вычисления кратчайших путей с алгоритмом Дейкстры, эти системы в значительной степени полагаются на вычислительную геометрию.

В заключение, геометрические алгоритмы предоставляют мощные инструменты для решения сложных пространственных проблем в различных областях. Их разработка остается богатой областью исследования в рамках математики и информатики, расширяя границы возможного в цифровых вычислениях.


Докторантура → 4.3.4


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (4.3.3)
Диаграмма Вороного
следующая (5) →
Теория чисел

комментарии 



Геометрические алгоритмы

https://www.buddymath.com/phd/4.3.4?bmal=ru