Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Algoritmos Geométricos


Los algoritmos geométricos están en el núcleo de la geometría computacional, un campo que combina la informática y las matemáticas. Estos algoritmos se ocupan del estudio y la manipulación de objetos geométricos, como puntos, líneas, polígonos y poliedros. Son importantes en una variedad de aplicaciones, incluyendo gráficos por computadora, robótica, sistemas de información geográfica (SIG) y diseño asistido por computadora (CAD).

Visión general de los objetos y operaciones geométricas

Antes de profundizar en algoritmos específicos, entendamos los principales objetos geométricos con los que trabajamos:

  • Punto: El objeto geométrico más simple, definido por coordenadas en un espacio como 2D o 3D.
  • Líneas: Una serie infinita de puntos que se extiende en ambas direcciones, generalmente definida por una ecuación lineal.
  • Segmento de línea: La porción de una línea limitada por dos puntos extremos.
  • Polígonos: Formas cerradas de múltiples lados en el plano. Triángulos, cuadrados y pentágonos son ejemplos.
  • Poliedros: Los equivalentes 3D de los polígonos, como cubos y pirámides.

Las operaciones geométricas a menudo implican comprobar intersecciones, calcular distancias, encontrar cubiertas convexas o realizar transformaciones como traducción, rotación y escalado. Aquí hay un ejemplo simple de cómo calcular la distancia entre dos puntos:

Distancia = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Algoritmos geométricos básicos

Cobertura convexa

La cubierta convexa de un conjunto de puntos es el polígono convexo más pequeño que rodea todos los puntos. A menudo se compara con estirar una banda elástica alrededor de los puntos más externos. Los algoritmos más comunes para encontrar la cubierta convexa son el escaneo de Graham y el recorrido de Jarvis (también conocido como el algoritmo de envoltura de regalos).

A continuación, un ejemplo de cómo los puntos se encierran en una cubierta convexa:

Intersección de segmentos de línea

Detectar si dos segmentos de línea se intersectan es fundamental en la geometría computacional, con aplicaciones que van desde gráficos por computadora hasta planificación de rutas en robótica. El algoritmo de Bentley–Ottman es una solución conocida para informar eficientemente todas las intersecciones en un conjunto de segmentos de línea.

Considera dos segmentos de línea AB y CD. Si se intersectan, la intersección se puede encontrar resolviendo estas ecuaciones lineales:

A = (x1, y1), B = (x2, y2) 
C = (x3, y3), D = (x4, y4) 
AB: y = mx + c 
CD: y = nx + k 
La intersección ocurre cuando: mx + c = nx + k

Diagrama de Voronoi

Los diagramas de Voronoi dividen un plano en regiones basadas en la distancia a un conjunto específico de puntos. Cada región corresponde a un punto y contiene todas las ubicaciones más cercanas a ese punto que a cualquier otro punto. Estos diagramas son útiles en una variedad de campos, incluyendo meteorología y planificación urbana.

Ilustración simple de un diagrama de Voronoi con 4 puntos:

Tópicos avanzados en algoritmos geométricos

Triangulación

La triangulación es la división de un polígono en triángulos no superpuestos. Este proceso es importante para el análisis de elementos finitos en el renderizado de gráficos y simulaciones de ingeniería. Los triángulos resultantes forman una malla que es fácil de manipular y analizar.

Mantener el polígono convexo mientras se triangula reduce la complejidad:

Quadtrees y octrees

Los quadtrees (en 2D) y los octrees (en 3D) son estructuras de datos en árbol utilizadas para dividir espacios y soportar consultas espaciales eficientes. Estas estructuras pueden mejorar el rendimiento de algoritmos que manejan grandes conjuntos de puntos al eliminar rápidamente grandes regiones del espacio al buscar puntos.

Ray tracing y cálculo en gráficos

El ray tracing es una técnica de renderizado que simula la forma en que la luz interactúa con los objetos para crear imágenes realistas. Los algoritmos calculan la trayectoria de los rayos a medida que intersectan con superficies, trazándolos hacia atrás desde el ojo hasta la fuente de luz. Este proceso implica múltiples pruebas de intersección y muestra la belleza de los algoritmos geométricos en aplicaciones prácticas.

Aplicaciones de los algoritmos geométricos

Los algoritmos geométricos son importantes en muchos campos. He aquí cómo contribuyen a diversas aplicaciones:

Gráficos por computadora

En gráficos, los algoritmos geométricos se utilizan para modelar, transformar y renderizar imágenes. La triangulación y la rasterización se utilizan comúnmente para convertir gráficos vectoriales en pantallas basadas en píxeles.

Robótica

La robótica utiliza algoritmos geométricos para la planificación de rutas y la evitación de obstáculos, asegurando que los robots puedan navegar eficientemente un entorno. Los algoritmos para la detección de colisiones son particularmente importantes.

Sistemas de Información Geográfica (SIG)

Los SIG se benefician enormemente de los algoritmos geométricos para gestionar datos espaciales, analizando y visualizando información geográfica. Desde el mapeo de límites políticos utilizando diagramas de Voronoi hasta el cálculo de rutas más cortas con el algoritmo de Dijkstra, estos sistemas dependen en gran medida de la geometría computacional.

En conclusión, los algoritmos geométricos proporcionan herramientas poderosas para resolver problemas espaciales complejos en una variedad de dominios. Su desarrollo sigue siendo un área rica de investigación dentro de las matemáticas y la informática, empujando los límites de lo que es posible con los cálculos digitales.


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