Диаграмма Вороного

Диаграммы Вороного являются важной частью вычислительной геометрии, предоставляя способ разделения плоскости на регионы на основе расстояния от набора конкретных точек, известных как сайты. Концепция названа в честь русского математика Георгия Вороного. Эти диаграммы имеют широкий спектр приложений, включая компьютерную графику, системы географической информации (ГИС) и даже биологию.

Что такое диаграмма Вороного?

Представьте плоскую, бесконечную плоскость. Теперь разместите несколько точек на этой плоскости, которые мы будем называть сайтами. Диаграмма Вороного этих сайтов делит плоскость на регионы, где каждый сайт имеет соответствующий регион, состоящий из всех точек, более близких к нему, чем к любому другому сайту. Эти регионы известны как ячейки Вороного.

Математически ячейка Вороного, соответствующая сайту P_i, состоит из всех точек P следующим образом:

|P - P_i| < |P - P_j| для каждого j ≠ i

Здесь |P - P_i| обозначает расстояние между точкой P и сайтом P_i.

Визуализация диаграмм Вороного

Чтобы лучше понять диаграмму Вороного, рассмотрим несколько примеров. Ниже представлена простая диаграмма Вороного с тремя сайтами:

На этой диаграмме каждый цветной круг представляет сайт. Пунктирные линии обозначают границы, где расстояние от сайта до точки на границе одинаково для двух сайтов. Каждый сегмент, разделённый линиями, формирует ячейку Вороного. Например, верхний левый регион содержит все точки, которые ближе к красному сайту, чем к любому другому сайту.

Биссекторы и ребра Вороного

При создании диаграммы Вороного важной концепцией является биссектор. Биссектор — это множество точек на плоскости, равноудалённых от двух ближайших сайтов. Там, где точки двух сайтов равноудалены, граница называется ребром Вороного.

Для двух сайтов P_i и P_j биссектор может быть описан как множество всех точек P, таких что:

|P - P_i| = |P - P_j|

Эта линия является серединой с точки зрения расстояния между двумя сайтами, и любая точка, пересекающая её, изменит своё ближайшее сайт-ассоциацию между P_i и P_j.

Математические построения

Построение диаграммы Вороного включает в себя математическое построение этих границ для каждой пары сайтов. Для данного конечного набора n сайтов {P_1, P_2, ..., P_n}, ребро Вороного вычисляется следующим образом:

|P - P_i| = |P - P_j|, для всех i ≠ j

Каждая пара сайтов порождает одномерное пространство точек (линий), которые служат потенциальными границами для регионов Вороного. Пересечение этих линий образует вершины, где встречаются несколько ячеек.

Свойства диаграммы Вороного

Диаграммы Вороного имеют несколько привлекательных свойств:

• Уникальность: Для конечного набора сайтов диаграмма Вороного уникальна, при условии её нормальности и отсутствия коллинеарности.
• Выпуклость: Каждая ячейка Вороного обычно является выпуклым многоугольником, поскольку регион, более близкий к одному сайту по сравнению с другими сайтами, формирует выпуклую форму.
• Двойственность: Триангуляция Делоне является графом-двоичником диаграммы Вороного. Она состоит из рёбер, соединяющих пары сайтов с их соседями по Вороного.
• Копланарность: Диаграмма Вороного делит плоскость таким образом, что ни одна из границ не перекрывается, и это обеспечивает, что каждая точка принадлежит только одному месту.

Применение диаграмм Вороного

Диаграммы Вороного имеют широкое применение в различных областях:

• Системы географической информации (ГИС): Диаграммы Вороного могут использоваться для анализа пространственных структур и разделения географических местоположений на основе близости. Они могут показать, как районы разделены на основе экономического влияния, например, расположения магазинов.
• Компьютерная графика: Диаграммы Вороного используются в процедурной генерации текстур, моделировании и рендеринге для создания естественно выглядящих изображений и поверхностей.
• Робототехника: Для планирования пути и определения рабочей области робота с несколькими препятствиями.
• Биология: Изучение структур клеток, где клетки растут относительно нескольких основных центров роста.

Создание диаграмм Вороного с использованием алгоритмов

Существует несколько алгоритмов для вычисления диаграмм Вороного, от простых методов до более эффективных алгоритмов:

• Простой подход: Это включает в себя проверку ближайшего сайта для каждой точки, вычисляя её расстояние до каждого сайта, что является вычислительно затратным.
• Алгоритм Форчуна: Мощный алгоритм сканирующей линии, который строит диаграмму Вороного за время O(n log n). Он использует среднюю линию для сканирования по плоскости и последовательного построения решения.

Алгоритм Форчуна работает, продвигая сканирующую линию сверху вниз, поддерживая приоритетную очередь (очередь событий) активных дуг и структуру состояния (между линией). Он эффективно находит события, такие как события окружности, где дуги исчезают.

Ограничения и вызовы

Несмотря на мощные приложения, диаграммы Вороного могут быть сложными в работе из-за следующих факторов:

• Высшие измерения: Расширение диаграмм Вороного на 3D (или выше) геометрии осложняется, поскольку диэдральные углы и многогранники заменяют линии и многоугольники.
• Числовая стабильность: Вычисление точных расстояний приводит к ошибкам точности, что приводит к неточным границам ячеек.
• Большие наборы данных: Вычисление диаграмм Вороного для больших наборов данных может быть вычислительно интенсивным, требуя оптимизированных алгоритмов и тщательного управления памятью.

Диаграммы Вороного вне Евклидова пространства

Хотя диаграммы Вороного обычно основаны на евклидовой метрике, существуют варианты для различных мер расстояния:

• Манхэттенское расстояние: формирует диаграмму Вороного на основе суммы горизонтальных и вертикальных дистанций, в результате чего ячейки имеют форму ромба.
• Расстояние Минковского: обобщённая форма, приводящая к различным формам ячеек в зависимости от выбранного значения p в формуле расстояния.

  d(P_i, P_j) = ( |x2 − x1|^p + |y2 − y1|^p )^(1/p)
      

Заключение

Диаграммы Вороного представляют собой изящный способ подхода к разделению пространства на основе близости. Независимо от того, применяются ли они в графике, робототехнике или биологии, они играют ключевую роль в решении задач, связанных с разделением пространства на основе ближайшего сайта. По мере развития вычислительных методов расчет диаграмм Вороного становится все более возможным для сложных высокоразмерных задач, что делает их незаменимым инструментом в таких областях, как вычислительная геометрия и за её пределами.

комментарии