Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Геометрия → Вычислительная геометрия ↓


Триангуляция


В вычислительной геометрии концепция триангуляции играет важную роль в изучении планарных подразделений. Триангуляция — это по сути деление плоскости на треугольники. Более формально, учитывая набор точек на плоскости, триангуляция — это набор вершин в этих точках. Существует коллекция неперекрывающихся треугольников с вершинами, такими что каждая точка является вершиной какого-то треугольника, и объединение этих треугольников является выпуклым покрытием множества точек.

Триангуляция имеет бесчисленные приложения в различных областях, таких как компьютерная графика, геоинформационные системы (ГИС), конечно-элементный анализ и многое другое. Изучение триангуляции включает свойства различных типов триангуляций, алгоритмы для их построения, их применение в конкретных приложениях и многое другое. Это включает понимание оптимизации и их математических свойств.

Основные определения и свойства

Рассмотрим набор точек P = {p1, p2, ..., pn} на плоскости. Основное требование для триангуляции этих точек заключается в том, чтобы ни один треугольник не перекрывал другой треугольник, за исключением возможно по ребрам и вершинам. Если T — это триангуляция P, то она графически представляется как вершины, которые являются точками из P и ребра, которые являются отрезками, соединяющими эти точки, образующими треугольник.

Триангуляция имеет несколько интересных свойств:

  • Формула Эйлера: Для плоского графа с V вершинами, E ребрами и F гранями следующая связь применяется: 
    V - E + F = 2
    В случае триангуляции, где каждая грань (за исключением внешней грани) является треугольником, эта формула особенно полезна для доказательства свойств, связанных с числом треугольников и ребер.
  • Число ребер и треугольников: Триангуляция n точек на плоскости имеет 2n - 3 ребер и n - 2 треугольников, при условии что выпуклое покрытие точек само по себе является треугольником.

Алгоритмы для триангуляции

Были предложены различные алгоритмы для вычисления триангуляции, каждый из которых имеет свои специфические преимущества и сложности.

Инкрементальный алгоритм

Инкрементальный алгоритм работает путем добавления точек одну за другой и динамически обновляет триангуляцию. Когда добавляется новая точка, алгоритм находит треугольник, содержащий новую вершину, а затем повторно триангулирует затронутые этим добавлением грани. Здесь мы опишем простой пошаговый инкрементальный подход:

  1. Начните с основного треугольника со всеми точками.
  2. Для каждой точки добавьте ее в триангуляцию.
  3. Определите треугольник, содержащий новую точку, и разделите его на три меньших треугольника.
  4. Исправьте возникающие несоответствия в веере ребер, "переворачивая" ребра для поддержания допустимой триангуляции.

Триангуляция Делоне

Особый тип триангуляции — это триангуляция Делоне, которая максимизирует минимальный угол каждого треугольника. Это свойство избегает тонких треугольников, что делает их весьма полезными во многих практических применениях. Триангуляция Делоне имеет уникальное свойство: любая также окружность треугольника не включает в свою внутреннюю часть других точек.

Алгоритм "разделяй и властвуй"

Алгоритм "разделяй и властвуй" сначала делит набор точек на две половины, рекурсивно триангулирует каждую половину и объединяет две триангуляции на границе, чтобы получить конечную триангуляцию. Хотя он является сложным, он необычайно эффективен. Он более эффективен, чем и часто используется для получения триангуляций Делоне.

Оптимальная триангуляция

В некоторых контекстах необходимо оптимизировать триангуляцию для удовлетворения конкретных условий, таких как минимизация общей длины ребер, максимизация наименьшего угла или получение треугольников с ограниченными аспектными соотношениями. Одна из важных оптимизаций заключается в нахождении минимальной весовой триангуляции (MWT), где сумма длин ребер в триангуляции минимальна.

Применение триангуляции

Триангуляция имеет далеко идущие применения, такие как:

  • Компьютерная графика: Триангуляция используется в генерации и рендеринге сеток в 3D компьютерной графике. Разделяя область на треугольники, программное обеспечение для графики эффективно обрабатывает сложные сцены.
  • Конечно-элементный анализ (FEA): Инженеры используют триангуляцию для деления областей для симуляций физических явлений, таких как теплопередача, гидродинамика и анализ напряжений.
  • Геоинформационные системы (ГИС): Триангуляция важна для моделирования рельефа и управления пространственной информацией в данных реального мира.

Проблемы и открытые вопросы

Несмотря на обширные исследования в области тригонометрии, остаются некоторые открытые вопросы:

  • Нахождение наиболее эффективных алгоритмов, которые эффективно работают для широкого диапазона входных данных, особенно в пространствах высокой размерности.
  • Разработка алгоритмов, способных работать с динамическими наборами данных, где точки постоянно добавляются или удаляются.

Заключение

Триангуляции служат фундаментальной структурой в вычислительной геометрии. Понимание их свойств, алгоритмов для их построения и их разнообразных приложений в различных областях раскрывает их значимость как в теоретических, так и в практических аспектах.

Изучение триангуляции остается активной областью исследований, с оказанием значительного влияния на технологические достижения по мере увеличения вычислительных возможностей и усложнения наших потребностей в моделировании.


Докторантура → 4.3.2


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (4.3.1)
Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии
следующая (4.3.3) →
Диаграмма Вороного

комментарии 



Триангуляция

https://www.buddymath.com/phd/4.3.2?bmal=ru