Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

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Triangulação


Na geometria computacional, o conceito de triangulação desempenha um papel essencial no estudo das subdivisões planas. Triangulação é essencialmente dividir um plano em triângulos. Mais formalmente, dado um conjunto de pontos no plano, a triangulação é o conjunto de vértices nesses pontos. Há uma coleção de triângulos não sobrepostos com vértices de modo que cada ponto seja um vértice de algum triângulo, e a união desses triângulos é a cobertura convexa do conjunto de pontos.

A triangulação possui inúmeras aplicações em vários campos, como gráficos por computador, sistemas de informação geográfica (SIG), análise de elementos finitos, entre muitos outros. O estudo da triangulação inclui as propriedades de diferentes tipos de triangulações, algoritmos para sua construção, sua aplicação em aplicações específicas, e muito mais. Isso inclui o entendimento da otimização e suas propriedades matemáticas.

Definições e propriedades básicas

Considere um conjunto de pontos P = {p1, p2, ..., pn} em um plano. A exigência básica para a triangulação desses pontos é que nenhum triângulo se sobreponha a outro triângulo, exceto possivelmente ao longo das arestas e dos vértices. Se T é uma triangulação de P, ela é representada graficamente como onde os vértices são os pontos de P e as arestas são os segmentos de linha que conectam esses pontos, formando um triângulo.

A triangulação possui várias propriedades interessantes:

  • Fórmula de Euler: Para um grafo planar com V vértices, E arestas e F faces, a seguinte relação se aplica: 
    V - E + F = 2
    No caso da triangulação, onde cada face (exceto a face externa) é um triângulo, essa fórmula é particularmente útil para provar propriedades relacionadas aos números de triângulos e arestas.
  • Número de arestas e triângulos: A triangulação de n pontos no plano possui 2n - 3 arestas e n - 2 triângulos, desde que a cobertura convexa dos pontos seja ela própria um triângulo.

Algoritmos para triangulação

Vários algoritmos foram propostos para calcular a triangulação, cada um com suas próprias vantagens e complexidades específicas.

Algoritmo incremental

O algoritmo incremental funciona adicionando pontos um por um e atualizando a triangulação dinamicamente. Quando um novo ponto é adicionado, o algoritmo encontra o triângulo contendo o novo vértice e, em seguida, re-triangula as faces afetadas por essa adição. Aqui, descrevemos uma abordagem incremental simples, passo a passo:

  1. Comece com um triângulo básico com todos os pontos.
  2. Para cada ponto, adicione-o à triangulação.
  3. Identifique o triângulo contendo o novo ponto e divida-o em três triângulos menores.
  4. Corrija inconsistências do leque de arestas resultantes "flipando" as arestas para manter a triangulação válida.

Triangulação de Delaunay

Um tipo especial de triangulação é a triangulação de Delaunay, que maximiza o ângulo mínimo de cada triângulo. Essa propriedade evita triângulos finos, tornando-a bastante útil em muitas aplicações práticas. A triangulação de Delaunay possui uma propriedade única: também, a circunferência de um triângulo não inclui quaisquer outros pontos em seu interior.

Algoritmo de dividir e conquistar

O algoritmo de dividir e conquistar primeiro divide o conjunto de pontos em duas metades, triangula recursivamente cada metade e mescla as duas triangulações na fronteira para obter a triangulação final. Embora seja complicado, é notavelmente eficiente. É mais eficiente e frequentemente usado para obter triangulações de Delaunay.

Triangulação ótima

Em alguns contextos, é necessário otimizar a triangulação para satisfazer condições específicas, como minimizar o comprimento total das arestas, maximizar o menor ângulo ou obter triângulos com proporções de aspecto limitadas. Um exemplo importante dessa otimização é encontrar uma triangulação de peso mínimo (MWT), onde a soma dos comprimentos das arestas na triangulação é mínima.

Aplicações da triangulação

A triangulação possui aplicações de longo alcance, tais como:

  • Gráficos de computador: A triangulação é usada na geração de malhas e renderização em gráficos de computador 3D. Ao decompor uma área em triângulos, o software gráfico processa cenas complexas de maneira eficiente.
  • Análise de elementos finitos (FEA): Engenheiros usam triangulação para dividir domínios para simulações de fenômenos físicos como transferência de calor, dinâmica de fluidos e análise de tensões.
  • Sistemas de informação geográfica (GIS): A triangulação é importante para modelagem do terreno e gerenciamento de informações espaciais em dados geográficos do mundo real.

Desafios e problemas em aberto

Apesar da pesquisa extensiva no campo da trigonometria, algumas questões ainda permanecem em aberto:

  • Encontrar os algoritmos mais eficientes que funcionem efetivamente para uma ampla gama de entradas, especialmente em espaços de alta dimensão.
  • Desenvolver algoritmos que possam lidar com conjuntos de dados dinâmicos onde pontos são constantemente adicionados ou excluídos.

Conclusão

As triangulações servem como uma estrutura fundamental na geometria computacional. Entender suas propriedades, algoritmos para sua construção e suas diversas aplicações em vários campos revela sua importância nos aspectos teóricos e práticos.

O estudo da triangulação permanece uma área vibrante de pesquisa, com impacto significativo nos avanços tecnológicos à medida que as capacidades computacionais aumentam e nossas necessidades de modelagem se tornam mais sofisticadas.


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