Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Triangulación


En la geometría computacional, el concepto de triangulación juega un papel esencial en el estudio de las subdivisiones planas. La triangulación es esencialmente dividir un plano en triángulos. Más formalmente, dado un conjunto de puntos en el plano, la triangulación es el conjunto de vértices en estos puntos. Hay una colección de triángulos no superpuestos con vértices de tal manera que cada punto es un vértice de algún triángulo, y la unión de estos triángulos es la envoltura convexa del conjunto de puntos.

La triangulación tiene innumerables aplicaciones en varios campos como gráficos por computadora, sistemas de información geográfica (SIG), análisis de elementos finitos, y muchos más. El estudio de la triangulación incluye las propiedades de diferentes tipos de triangulaciones, algoritmos para su construcción, su aplicación a aplicaciones específicas, y más. Esto incluye entender la optimización y sus propiedades matemáticas.

Definiciones básicas y propiedades

Considere un conjunto de puntos P = {p1, p2, ..., pn} en un plano. El requisito básico para la triangulación de estos puntos es que ningún triángulo se superponga con otro triángulo, excepto posiblemente a lo largo de los bordes y de los vértices. Si T es una triangulación de P, se representa gráficamente como donde los vértices son los puntos de P y los bordes son los segmentos de línea que conectan estos puntos, formando un triángulo.

La triangulación tiene varias propiedades interesantes:

  • Fórmula de Euler: Para un gráfico plano con V vértices, E bordes, y F caras, se aplica la siguiente relación: 
    V - E + F = 2
    En el caso de la triangulación, donde cada cara (excepto la cara exterior) es un triángulo, esta fórmula es particularmente útil para demostrar propiedades relacionadas con el número de triángulos y bordes.
  • Número de bordes y triángulos: La triangulación de n puntos en el plano tiene 2n - 3 bordes y n - 2 triángulos, siempre que la envoltura convexa de los puntos sea en sí misma un triángulo.

Algoritmos para la triangulación

Se han propuesto varios algoritmos para calcular la triangulación, cada uno con sus propias ventajas y complejidades específicas.

Algoritmo incremental

El algoritmo incremental funciona añadiendo puntos uno por uno y actualizando la triangulación dinámicamente. Cuando se añade un nuevo punto, el algoritmo encuentra el triángulo que contiene el nuevo vértice y luego reticuliza las caras afectadas por esta adición. Aquí, describimos un enfoque incremental simple paso a paso:

  1. Comience con un triángulo básico con todos los puntos.
  2. Para cada punto, agréguelo a la triangulación.
  3. Identifique el triángulo que contiene el nuevo punto y divídalo en tres triángulos más pequeños.
  4. Corrija las inconsistencias del abanico de bordes resultantes cambiando los bordes para mantener una triangulación válida.

Triangulación de Delaunay

Un tipo especial de triangulación es la triangulación de Delaunay, que maximiza el ángulo mínimo de cada triángulo. Esta propiedad evita triángulos delgados, haciéndola bastante útil en muchas aplicaciones prácticas. La triangulación de Delaunay tiene una propiedad única: el círculo circunscrito de un triángulo no incluye ningún otro punto en su interior.

Algoritmo de dividir y conquistar

El algoritmo de dividir y conquistar primero divide el conjunto de puntos en dos mitades, triangula recursivamente cada mitad, y fusiona las dos triangulaciones en la frontera para obtener la triangulación final. Aunque es complicado, es notablemente eficiente. Es más eficiente y se usa a menudo para obtener triangulaciones de Delaunay.

Triangulación óptima

En algunos contextos, es necesario optimizar la triangulación para satisfacer condiciones específicas, como minimizar la longitud total del borde, maximizar el ángulo más pequeño, u obtener triángulos con proporciones de aspecto limitadas. Uno de esos importantes es encontrar una triangulación de peso mínimo (MWT) donde la suma de las longitudes de los bordes en la triangulación sea mínima.

Aplicaciones de la triangulación

La triangulación tiene aplicaciones de gran alcance como:

  • Gráficos por computadora: La triangulación se utiliza en la generación de mallas y renderización en gráficos de computadora 3D. Al descomponer un área en triángulos, el software de gráficos procesa escenas complejas de manera eficiente.
  • Análisis de elementos finitos (FEA): Los ingenieros utilizan la triangulación para dividir dominios para simulaciones de fenómenos físicos como la transferencia de calor, la dinámica de fluidos, y el análisis de tensiones.
  • Sistemas de información geográfica (SIG): La triangulación es importante para modelar el terreno y gestionar la información espacial en datos geográficos del mundo real.

Desafíos y problemas abiertos

A pesar de la extensa investigación en el campo de la trigonometría, aún quedan algunas preguntas abiertas:

  • Encontrar los algoritmos más eficientes que funcionen efectivamente para una amplia gama de entradas, especialmente en espacios de alta dimensión.
  • Desarrollar algoritmos que puedan manejar conjuntos de datos dinámicos donde los puntos se añaden o eliminan constantemente.

Conclusión

Las triangulaciones sirven como una estructura fundamental en la geometría computacional. Comprender sus propiedades, los algoritmos para su construcción, y sus diversas aplicaciones en varios campos revela su importancia en aspectos tanto teóricos como prácticos.

El estudio de la triangulación sigue siendo un área vibrante de investigación, con un impacto significativo en los avances tecnológicos a medida que las capacidades computacionales aumentan y nuestras necesidades de modelado se vuelven más sofisticadas.


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