Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии

В изучении вычислительной геометрии концепция «выпуклой оболочки» является базовым строительным блоком. Представьте, что на плоскости разбросаны точки. Выпуклая оболочка похожа на обертывание резинкой вокруг этих точек. Лента примет форму наименьшего выпуклого многоугольника, который может охватить все разбросанные точки.

Понимание выпуклых форм

Прежде чем перейти к выпуклым оболочкам, важно понять, что означает выпуклость. Форма является выпуклой, если для любых двух точек внутри формы отрезок, соединяющий их, полностью лежит внутри формы. Представьте это как воздушный шарик. Если вы втыкаете две булавки в любую точку на поверхности шара и соединяете их ниткой, нитка не выйдет из шара.

Определение выпуклой оболочки

Выпуклая оболочка множества точек — это наименьшее выпуклое множество, охватывающее все точки. С математической точки зрения, если у вас есть множество S точек, выпуклая оболочка является пересечением всех выпуклых множеств, содержащих S Альтернативно, это граница, использующая наименьший периметр при охватывании всех точек.

Математическое представление

Выпуклая оболочка множества точек S может быть представлена как:

Convex hull(S) = { x : x является выпуклой комбинацией точек в S }

Визуализация выпуклых оболочек

Пример 1: Базовая выпуклая оболочка

Рассмотрим простой сценарий, когда множество имеет только три точки, которые образуют треугольник.

В этом примере выпуклая оболочка — это сам треугольник, так как все три точки являются его вершинами.

Пример 2: Более сложное множество

Рассмотрим некоторые более сложные точки:

Здесь точки образуют фигуру, которая включает внутреннюю точку. Выпуклая оболочка представляет собой треугольник, исключая точку в (130, 80), которая не влияет на периметр оболочки.

Свойства выпуклой оболочки

Выпуклость

Выходная форма всегда является выпуклой, то есть каждый внутренний угол меньше или равен 180 градусам.

Спецификация

Для данного множества точек выпуклая оболочка уникальна. Эта уникальность возникает, поскольку нет разницы между определением выпуклости и природой евклидового пространства.

Минимализм

Выпуклая оболочка имеет наименьшую возможную границу, охватывающую все точки множества.

Алгоритмы для вычисления выпуклой оболочки

Существуют различные алгоритмы, которые могут вычислить выпуклую оболочку множества точек, каждый с различными сложностями и случаями использования. Некоторые из популярных алгоритмов следующие:

Алгоритм обертывания подарка

Также известный как алгоритм Джарвиса, он похож на заворачивание подарка путем перемещения по краю формы.

1. Начните с самой левой точки в множестве (с самым маленьким x-координатом).
2. Выберите точку, которая образует наименьший против часовой стрелки угол с линией, образованной начальной точкой.
3. Повторяйте шаг 2 с последней добавленной точкой, пока не вернетесь к начальной точке.

Вычислительная сложность обертывания подарка обычно составляет O(nh), где n — количество точек в входном множестве, а h — количество точек на решении.

Грэм-скан

Этот алгоритм вычисляет выпуклую оболочку, сначала упорядочивая вершины, а затем рассматривая их по одной.

1. Найдите точку с наименьшей y-координатой, отклоняя от наименьшей x-координаты.
2. Отсортируйте точки в порядке возрастания угла, образованного ими и выбранной на шаге 1 точкой с осью абсцисс.
3. Повторите точки и удалите точки, которые вызывают вращение по часовой стрелке.

Его вычислительная сложность составляет O(n log n), главным образом из-за начальной сортировки.

Алгоритм Quickhull

Алгоритм Quickhull — это метод, основанный на парадигме разделяй и властвуй.

1. Найдите точки с минимальными и максимальными x-координатами, которые должны быть частью выпуклой оболочки.
2. Используйте рекурсивную процедуру разделения, чтобы найти множество точек, образующих выпуклую оболочку на каждой стороне линии, определяемой этими двумя точками.

Средняя сложность составляет O(n log n), в то время как в худшем случае это может быть O(n^2).

Инкрементный алгоритм

В этом алгоритме точки добавляются по одной, и выпуклая оболочка обновляется на каждом шаге.

1. Начните с небольшого подмножества точек, образующих начальную оболочку.
2. Добавьте новую точку и проверьте, лежит ли она внутри текущей оболочки.
3. Если она находится снаружи, обновите оболочку, чтобы включить новую точку.

Хотя это не самый эффективный с точки зрения нотации Big-O алгоритм, он все же может быть интуитивно понятным и полезным в конкретных приложениях.

Применение выпуклой оболочки

Выпуклые оболочки имеют множество практических применений в вычислительной геометрии и смежных областях:

Компьютерная графика

Выпуклые оболочки используются в компьютерной графике для определения границы набора объектов, а также для обнаружения столкновений и поиска пути.

Географический анализ

В ГИС-системах выпуклые оболочки помогают определить границы географических единиц, таких как группы местоположений.

Распознавание образов

Используется в распознавании образов для придания формы группам точек, способствуя классификации и обнаружению.

Робототехника

В робототехнике выпуклые оболочки помогают в навигации в пространстве и планировании движения, предоставляют безопасные маршруты вокруг наборов препятствий.

Заключение

Изучение выпуклых оболочек является ключом к пониманию более сложных проблем вычислительной геометрии. Хотя их определение простое, эффективное вычисление и применение требуют глубокого понимания геометрии и разработки алгоритмов. Как фундаментальный аспект геометрии, выпуклые оболочки остаются областью активных исследований и играют важную роль в различных технологических приложениях.

комментарии