Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

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Geometria algébrica


Introdução

Geometria algébrica é um ramo da matemática que combina álgebra abstrata, particularmente álgebra comutativa, com geometria. É uma disciplina onde a álgebra encontra a geometria e onde espaços cujas equações definidoras são dadas por polinômios são estudados em profundidade.

Este campo é responsável por muitos desenvolvimentos tanto em álgebra quanto em geometria, e possui influência em uma variedade de campos, incluindo teoria dos números e teoria das cordas. A geometria algébrica fornece um poderoso conjunto de ferramentas para entender as propriedades intrínsecas das soluções de equações polinomiais.

Conceitos básicos

Para entender a geometria algébrica em profundidade, precisamos entender alguns conceitos básicos:

Variedades afins

A variedade afinada é o conjunto de soluções de um sistema de equações polinomiais em um número finito de variáveis. Essas soluções podem ser vistas como formas geométricas. Por exemplo, considere o conjunto de equações:

x^2 + y^2 = 1

A equação acima descreve um círculo no plano afinado. Mais geralmente, se tivermos variáveis f_1, f_2, ..., f_m x_1, x_2, ..., x_n f_m, então o conjunto:

V(i) = { (x_1, x_2, ..., x_n) | f_1(x_1, x_2, ..., x_n) = 0, ..., f_m(x_1, x_2, ..., x_n) = 0 }

é uma variedade afinada.

Conjuntos algébricos

Um conjunto algébrico é semelhante a uma variedade afinada, mas é definido de forma mais geral. É qualquer subconjunto de um espaço afim que é o conjunto de soluções de um sistema de equações polinomiais. O conjunto de todos os conjuntos algébricos forma uma topologia chamada topologia de Zariski.

No exemplo mostrado, é representado um círculo, que representa a variedade algébrica dada pela equação x^2 + y^2 = 1.

Topologia de Zariski

A base da topologia de Zariski em conjuntos algébricos é formada pelos complementos dos conjuntos algébricos. De certa forma, a topologia de Zariski pode ser vista como "grosseira" ou "mais refinada" do que a topologia padrão, dependendo do contexto.

Variedades projetivas

Esses são tipos de variedades que refinam nossa compreensão além da variedade afinada. Eles lidam com a questão dos pontos 'no infinito'. Similar à variedade afinada, a variedade projetiva é definida como o conjunto zero de polinômios homogêneos.

Considere o plano projetivo P^2. Um ponto em P^2 é dado por coordenadas (x : y : z) que não são todas zero, onde dois conjuntos de coordenadas são considerados iguais se diferirem por um multiplicador escalar não-zero.

Exemplo de uma variedade projetiva

x^2 + y^2 - z^2 = 0

Aqui está uma equação que representa uma variedade projetiva, que é frequentemente representada na geometria como uma seção cônica, como uma elipse ou hipérbola.

Curvas algébricas

Curvas algébricas são de variedade unidimensional. Elas formam uma área importante de estudo na geometria algébrica. Talvez o exemplo mais simples de uma curva algébrica seja uma linha, dada por um polinômio linear no plano afinado.

Um exemplo mais complexo é a curva elíptica:

y^2 = x^3 + ax + b

Esta equação descreve uma curva algébrica em duas variáveis, onde propriedades especiais dos coeficientes a e b determinam a forma e a natureza da curva.

O caminho acima representa uma curva elíptica, que pode ser caracterizada por laços fechados.

Teoria de interseção

Este aspecto da geometria algébrica trata da interseção de duas ou mais variedades de maneira significativa, frequentemente fornecendo informações sobre dimensões e propriedades compartilhadas.

Princípios de feixes e esquemas

A teoria dos feixes avança a ideia de ações no espaço e desempenha um papel importante na geometria algébrica moderna. Esquemas são um avanço de variações, permitindo uma união harmoniosa de métodos algébricos e topológicos.

Feixe básico

Considere a coleção de conjuntos abertos de um espaço topológico; um feixe fornece dados consistentes em todos os conjuntos abertos, como funções que satisfazem certas propriedades.

Pontos singulares e soluções

Ao lidar com variações, pontos singulares são onde as regras normais da geometria não se aplicam, como cúspides ou pontos de interseção em curvas. Resolver essas singularidades é uma tarefa fundamental na geometria algébrica.

Exemplo de um ponto singular

y^2 = x^2(x + 1)

Esta curva apresenta uma cúspide na origem (0,0), que representa um cenário típico de ponto singular.

Conclusão

Em resumo, a geometria algébrica combina álgebra e geometria para investigar as propriedades geométricas das soluções de equações polinomiais. Ela tira proveito de muitas ferramentas e conceitos sofisticados, como variedades, feixes e esquemas, para resolver problemas dentro da matemática.

É um campo rico em teoria e aplicação, contribuindo significativamente para assuntos que vão desde a física teórica até a criptografia. Dada sua história e desenvolvimento, a geometria algébrica continua sendo uma área vibrante e essencial de estudo na matemática.


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