Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Geometría algebraica


Introducción

La geometría algebraica es una rama de las matemáticas que combina el álgebra abstracta, particularmente el álgebra conmutativa, con la geometría. Es una disciplina donde el álgebra se encuentra con la geometría y donde los espacios cuyas ecuaciones definitorias están dadas por polinomios son estudiados en profundidad.

Este campo es responsable de muchos desarrollos tanto en álgebra como en geometría, y tiene influencia en una variedad de campos, incluidos la teoría de números y la teoría de cuerdas. La geometría algebraica proporciona un poderoso conjunto de herramientas para comprender las propiedades intrínsecas de las soluciones de ecuaciones polinómicas.

Conceptos básicos

Para entender la geometría algebraica en profundidad necesitamos entender algunos conceptos básicos:

Variedades afines

La variedad afín es el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas en un número finito de variables. Estas soluciones pueden verse como formas geométricas. Por ejemplo, consideremos el conjunto de ecuaciones:

x^2 + y^2 = 1

La ecuación anterior describe un círculo en el plano afín. Más generalmente, si tenemos variables f_1, f_2, ..., f_m x_1, x_2, ..., x_n f_m, entonces el conjunto:

V(i) = { (x_1, x_2, ..., x_n) | f_1(x_1, x_2, ..., x_n) = 0, ..., f_m(x_1, x_2, ..., x_n) = 0 }

es una variedad afín.

Conjuntos algebraicos

Un conjunto algebraico es similar a una variedad afín pero se define de manera más general. Es cualquier subconjunto de un espacio afín que es el conjunto solución de un sistema de ecuaciones polinómicas. El conjunto de todos los conjuntos algebraicos forma una topología llamada topología de Zariski.

En el ejemplo mostrado, se representa un círculo, que representa la variedad algebraica dada por la ecuación x^2 + y^2 = 1.

Topología de Zariski

La base de la topología de Zariski en conjuntos algebraicos está formada por los complementos de conjuntos algebraicos. De alguna manera, la topología de Zariski puede verse como "grosera" o "más fina" que la topología estándar, dependiendo del contexto.

Variedades proyectivas

Son tipos de variedades que refinan nuestra comprensión más allá de la variedad afín. Abordan el problema de los puntos 'en el infinito'. Similar a la variedad afín, la variedad proyectiva se define como el conjunto nulo de polinomios homogéneos.

Consideremos el plano proyectivo P^2. Un punto en P^2 se da mediante coordenadas (x : y : z) que no son todas cero, donde dos conjuntos de coordenadas se consideran iguales si difieren por un multiplicador escalar no cero.

Ejemplo de una variedad proyectiva

x^2 + y^2 - z^2 = 0

Aquí hay una ecuación que representa una variedad proyectiva, que a menudo se representa en geometría como una sección cónica, como una elipse o una hipérbola.

Curvas algebraicas

Las curvas algebraicas son de la variedad unidimensional. Forman un área importante de estudio en geometría algebraica. Quizás el ejemplo más simple de una curva algebraica sea una línea, dada por un polinomio lineal en el plano afín.

Un ejemplo más complejo es la curva elíptica:

y^2 = x^3 + ax + b

Esta ecuación describe una curva algebraica en dos variables, donde propiedades especiales de los coeficientes a y b determinan la forma y la naturaleza de la curva.

El camino anterior representa una curva elíptica, que puede caracterizarse por lazos cerrados.

Teoría de la intersección

Este aspecto de la geometría algebraica se ocupa de la intersección de dos o más variedades de una manera significativa, a menudo proporcionando información sobre dimensiones y propiedades compartidas.

Principios de haces y esquemas

La teoría de haces avanza la idea de acciones en el espacio y juega un papel importante en la geometría algebraica moderna. Los esquemas son un avance de las variaciones, permitiendo una unión perfecta de métodos algebraicos y topológicos.

Haz básico

Consideremos la colección de conjuntos abiertos de un espacio topológico; un haz proporciona datos consistentes en todos los conjuntos abiertos, como funciones que satisfacen ciertas propiedades.

Puntos singulares y soluciones

Al tratar con variaciones, los puntos singulares son donde no se aplican las reglas normales de la geometría, como cúspides o puntos de cruce en curvas. Resolver estas singularidades es una tarea fundamental en geometría algebraica.

Ejemplo de un punto singular

y^2 = x^2(x + 1)

Esta curva presenta una cúspide en el origen (0,0), lo cual representa un escenario típico de punto singular.

Conclusión

En resumen, la geometría algebraica combina álgebra y geometría para investigar las propiedades geométricas de las soluciones de ecuaciones polinómicas. Aprovecha muchas herramientas y conceptos sofisticados, como variedades, haces y esquemas, para resolver problemas dentro de las matemáticas.

Es un campo rico en teoría y aplicación, haciendo contribuciones significativas a temas que van desde la física teórica hasta la criptografía. Dada su historia y desarrollo, la geometría algebraica sigue siendo un área de estudio vibrante y esencial en matemáticas.


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