Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Геометрия → Алгебраическая геометрия ↓


Планы


Алгебраическая геометрия в своей основе изучает решения полиномиальных уравнений. По мере развития дисциплины математики осознали, что классические геометрические объекты, такие как кривые, поверхности и так далее, можно лучше понять, используя алгебраические структуры. Это осознание привело к разработке "схем", которые предоставляют новый и более общий язык для работы с этими объектами.

Понимание многообразий

До появления схем многообразия широко использовались для изучения алгебраической геометрии. Многообразие - это, неформально, множество решений системы полиномиальных уравнений над полем. Например, рассмотрим поле комплексных чисел ℝ и уравнение:

x^2 + y^2 - 1 = 0

Множество всех точек (x, y) в комплексной плоскости, удовлетворяющих этому уравнению, образует многообразие - в данном случае, круг.

Circle(x^2 + y^2 = 1)

Хотя многообразия обеспечивают богатую структуру для понимания геометрических форм, они не справляются с более сложными или "странными" видами геометрических проблем. Здесь на помощь приходят схемы.

Основные понятия схем

На самом простом уровне схема - это пространство, которое локально напоминает спектр кольца. Чтобы объяснить это:

Спектр кольца

Сначала разберёмся, что такое спектр кольца. Данному кольцу A (это вид алгебраической структуры, состоящей из множества, оснащённого двумя бинарными операциями, удовлетворяющими тем же свойствам, что и сложение и умножение целых чисел), его спектр, обозначаемый Spec(A), - это множество всех простых идеалов кольца A

Spec(A) = { P | P - простой идеал в A }

Подумайте о простых идеалах как об обобщениях чисел, подобных простым в теории чисел. Эти множества имеют топологию, называемую топологией Зарисского, где замкнутые множества определяются с помощью алгебраических решений. Кроме того, на этом спектре существует структурный пучок, который присваивает каждому открытому множеству коммутативное кольцо, позволяя определять функции совместимым образом.

Структурный пучок

Просто говоря, пучок - это инструмент для систематического отслеживания данных, назначаемых открытым множествам топологического пространства, задающий правила ограничения этих данных для меньших открытых множеств. Когда мы переносим эту идею в алгебраическую геометрию, структурный пучок на спектре обеспечивает алгебраическую структуру для этих открытых множеств.

Построение планов

На этой основе схема представляет собой топологическое пространство, оснащённое набором колец так, что каждая точка имеет окрестность, похожую на Spec(A) для некоторого кольца A. Утилита схем заключается в том, что они позволяют обсуждать пространства, определяемые более общими кольцами, чем поля, открывая возможность для более богатых геометрических исследований за пределами классических многообразий.

Чтобы создать схему X, необходимо выполнить следующие шаги:

  1. Взять коллекцию спектров колец Spec(A_i) для некоторого индекса i.
  2. Склеить их вместе, используя данные склейки, которые удовлетворяют определённым условиям согласованности (подобно тому, как геометрические объекты, такие как тор, могут быть построены путём склейки более простых частей).

Визуальное представление плана

Визуализация схем может быть абстрактной, но давайте рассмотрим простой пример склейки. Рассмотрим две линии, представленные Spec(A) и Spec(B), где A и B - это два различных кольца. Чтобы сформировать схему, эти линии можно склеить вместе вдоль некоторых заданных областей.

Spec(A) Spec(B) область склейки

Визуализация выше предоставляет простой геометрический эффект, где два алгебраических объекта могут быть "склеены" в алгебраическом смысле для формирования нового объекта. Это похоже на построение топологических пространств с использованием локальных кусочков.

Мощность и применение схем

Схемы предлагают математикам огромную гибкость и общее свойство, которые классические многообразия не могут предоставить. Вот некоторые области, где схемы показывают всю свою силу:

Работа с сингулярностями

Сингулярности - это точки, где геометрические объекты теряют свои свойства, такие как клюв или самопересечение, - могут быть обработаны элегантно с помощью схем. В отличие от многообразий, которые с трудом справляются с определёнными типами сингулярностей, схемы не требуют, чтобы основное поле было конечно, открывая двери для новых решений.

Пример: Уравнение y^2 = x^3 + x^2 имеет клюв в начале координат.
План может легко "обойти" или декомпозировать такие пространства.

Арифметическая геометрия

Схемы позволяют расширить область алгебраической геометрии в теорию чисел, в область, называемую арифметической геометрией. Когда схемы строятся над кольцом целых чисел, становится проще рассматривать вопросы о целых числах и простых числах в геометрическом контексте, что оказывается полезным в задачах, связанных с диофантовыми уравнениями.

Интеграция алгебраических и геометрических концепций

Наконец, схемы соединяют язык геометрии (топология и пространства) с точностью алгебры (кольца и функции), позволяя идеям из разных математических областей взаимодействовать бесшовным образом. Это делает схемы основой современной алгебраической геометрии и теории чисел.

Историческое развитие и значимость

Концепция схем была разработана Александром Гротендиком, одним из самых влиятельных математиков 20 века. Его работа была направлена на преодоление ограничений, присущих более старым теориям алгебраических многообразий, что привело к трансформации в области алгебраической геометрии.

Революционные идеи Гротендика проложили путь для разработки дальнейших математических теорий, углубляя наше понимание свойств геометрических пространств и алгебраических уравнений. Сегодня схемы предоставляют архитектурные основы для многих современных математических исследований, и продолжающееся исследование продолжает расширять их возможности.


Докторантура → 4.2.2


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (4.2.1)
Аффинные и проективные многообразия
следующая (4.2.3) →
Разделители и пересечения

комментарии 



Планы

https://www.buddymath.com/phd/4.2.2?bmal=ru