Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

Doutorado → Geometria → Geometria algébrica ↓


Planos


A geometria algébrica é, em sua essência, o estudo das soluções de equações polinomiais. À medida que a disciplina se desenvolveu, os matemáticos perceberam que objetos geométricos clássicos, como curvas, superfícies e assim por diante, poderiam ser melhor compreendidos usando estruturas algébricas. Essa percepção levou ao desenvolvimento dos "esquemas", que fornecem uma linguagem nova e mais generalizada para lidar com esses objetos.

Compreendendo as variedades

Antes do advento dos esquemas, variações eram amplamente usadas para estudar a geometria algébrica. Uma variedade é, informalmente, o conjunto de soluções de um sistema de equações polinomiais sobre um campo. Por exemplo, considere o campo dos números complexos ℝ e a equação:

x^2 + y^2 - 1 = 0

O conjunto de todos os pontos (x, y) no plano complexo que satisfazem esta equação forma uma variedade - neste caso, um círculo.

Círculo(x^2 + y^2 = 1)

Embora as variações ofereçam uma estrutura rica para entender formas geométricas, elas são insuficientes ao lidar com tipos de problemas geométricos mais complexos ou "estranhos". É aqui que entram os esquemas.

Conceitos básicos de esquemas

No nível mais básico, um esquema é um espaço que localmente se assemelha ao espectro de um anel. Para simplificar:

Espectro de um anel

Primeiro, vamos aprender o que é o espectro de um anel. Dado um anel A (que é um tipo de estrutura algébrica que consiste em um conjunto equipado com duas operações binárias que satisfazem as mesmas propriedades que adição e multiplicação de inteiros), seu espectro, denotado por Spec(A), é o conjunto de todos os ideais primos de A

Spec(A) = { P | P é um ideal primo em A }

Pense em ideais primos como generalizações de números como primos na teoria dos números. Esses conjuntos possuem uma topologia chamada topologia de Zariski, onde conjuntos fechados são definidos usando soluções algébricas. Além disso, nesse espectro, há um feixe de estruturas que atribui um anel comutativo a cada conjunto aberto, permitindo que funções sejam definidas de maneira compatível.

Feixe de estrutura

Em termos simples, um feixe é uma ferramenta para rastrear sistematicamente dados atribuídos aos conjuntos abertos de um espaço topológico, definindo regras para restringir esses dados a conjuntos abertos menores. Quando trazemos essa ideia para a geometria algébrica, o feixe de estruturas no espectro fornece uma estrutura algébrica para esses conjuntos abertos.

Construindo planos

Com base nisso, um esquema é essencialmente um espaço topológico equipado com um conjunto de anéis de tal forma que cada ponto tem uma vizinhança que se parece com Spec(A) para algum anel A. A utilidade dos esquemas é que eles permitem a discussão de espaços definidos sobre anéis mais gerais do que campos, abrindo a possibilidade para explorações geométricas muito mais ricas além das variedades clássicas.

Para criar o esquema X, as etapas a seguir devem ser executadas:

  1. Tomar uma coleção de espectros de anéis Spec(A_i) para algum índice i.
  2. Colá-los usando dados de colagem que satisfazem certas condições de coerência (semelhante a como objetos geométricos como um toro podem ser construídos colando peças mais simples).

Representação visual de um plano

Visualizar esquemas pode ser abstrato, mas vamos ver um exemplo simples de colagem. Considere duas linhas representadas por Spec(A) e Spec(B) onde A e B são dois anéis diferentes. Para formar um esquema, essas linhas podem ser coladas em algumas áreas específicas.

Spec(A) Spec(B) área de colagem

A visualização acima proporciona um efeito geométrico simples onde dois objetos algébricos podem ser "colados" no sentido algébrico para formar um novo objeto. Isso é semelhante à construção de espaços topológicos usando partes locais.

Poder e aplicação dos esquemas

Os esquemas oferecem aos matemáticos enorme flexibilidade e generalidade que as variações clássicas não podem oferecer. Aqui estão algumas áreas onde os esquemas mostram toda a sua força:

Lidando com singularidades

Singularidades - isto é, pontos onde objetos geométricos falham em se comportar bem, como uma cúspide ou uma auto-interseção - podem ser tratadas elegantemente usando esquemas. Ao contrário das variações, que lutam para lidar com certos tipos de singularidades, os esquemas não exigem que o campo subjacente seja finito, abrindo assim portas para novas soluções.

Exemplo: A equação y^2 = x^3 + x^2 tem uma cúspide na origem.
Um plano pode facilmente 'navegar' ou desintegrar esses espaços.

Geometria aritmética

Os esquemas permitem que o campo da geometria algébrica seja estendido para a teoria dos números, em um campo chamado geometria aritmética. Quando os esquemas são construídos sobre o anel dos inteiros, torna-se mais fácil considerar questões sobre inteiros e números primos em um contexto geométrico, o que se mostra útil em problemas envolvendo equações diofantinas.

Integração de conceitos algébricos e geométricos

Finalmente, os esquemas misturam a linguagem da geometria (topologia e espaços) com a precisão da álgebra (aneis e funções), permitindo que ideias de diferentes campos matemáticos interajam de forma harmoniosa. Isso faz dos esquemas uma parte central da geometria algébrica moderna e da teoria dos números.

Desenvolvimento histórico e significado

O conceito de esquema foi desenvolvido por Alexander Grothendieck, um dos matemáticos mais influentes do século XX. Seu trabalho visava corrigir as limitações inerentes a teorias mais antigas de variedades algébricas, levando a uma transformação no campo da geometria algébrica.

As ideias revolucionárias de Grothendieck abriram caminho para o desenvolvimento de novas teorias matemáticas, aprofundando nossa compreensão das propriedades dos espaços geométricos e das equações algébricas. Hoje, os esquemas fornecem a estrutura arquitetônica para muitas investigações matemáticas modernas, e a pesquisa contínua continua a expandir suas capacidades.


Doutorado → 4.2.2


U
username
0%
concluído em Doutorado

← Anterior (4.2.1)
Variedades afins e projetivas
Próximo (4.2.3) →
Separadores e interseções

Comentários 



Planos

https://www.buddymath.com/phd/4.2.2?bmal=pt