Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Planes


La geometría algebraica es, en su núcleo, el estudio de las soluciones a ecuaciones polinómicas. A medida que la disciplina se desarrolló, los matemáticos se dieron cuenta de que los objetos geométricos clásicos, como curvas, superficies, etc., podrían entenderse mejor utilizando estructuras algebraicas. Esta realización condujo al desarrollo de "esquemas", que proporcionan un lenguaje nuevo y más generalizado para tratar con estos objetos.

Entendiendo las variedades

Antes de la llegada de los esquemas, las variaciones se utilizaban ampliamente para estudiar la geometría algebraica. Una variedad es, informalmente, el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas sobre un campo. Por ejemplo, considere el campo de los números complejos ℝ y la ecuación:

x^2 + y^2 - 1 = 0

El conjunto de todos los puntos (x, y) en el plano complejo que satisfacen esta ecuación forma una variedad, en este caso, un círculo.

Círculo(x^2 + y^2 = 1)

Si bien las variaciones proporcionan una estructura rica para entender formas geométricas, quedan cortas al tratar con problemas geométricos más complejos o "extraños". Aquí es donde entran en juego los esquemas.

Conceptos básicos de los esquemas

En el nivel más básico, un esquema es un espacio que localmente se asemeja al espectro de un anillo. Para descomponerlo:

Espectro de un anillo

Primero, aprendamos qué es el espectro de un anillo. Dado un anillo A (que es un tipo de estructura algebraica que consiste en un conjunto equipado con dos operaciones binarias que satisfacen las mismas propiedades que la suma y la multiplicación de enteros), su espectro, denotado por Spec(A), es el conjunto de todos los ideales primos de A

Spec(A) = { P | P es un ideal primo en A }

Piense en los ideales primos como generalizaciones de números como los primos en teoría de números. Estos conjuntos tienen una topología llamada topología de Zariski, donde los conjuntos cerrados se definen utilizando soluciones algebraicas. Además, en este espectro, hay un haz estructural que asigna un anillo conmutativo a cada conjunto abierto, lo que permite definir funciones de manera compatible.

Haz estructural

En términos simples, un haz es una herramienta para rastrear sistemáticamente los datos asignados a los conjuntos abiertos de un espacio topológico, configurando reglas para restringir estos datos a conjuntos abiertos más pequeños. Cuando llevamos esta idea a la geometría algebraica, el haz estructural en el espectro proporciona una estructura algebraica a estos conjuntos abiertos.

Construcción de planes

Sobre esta base, un esquema es esencialmente un espacio topológico equipado con un conjunto de anillos tal que cada punto tiene un vecindario que se parece a Spec(A) para algún anillo A. La utilidad de los esquemas es que permiten la discusión de espacios definidos sobre anillos más generales que los campos, abriendo la posibilidad de exploraciones geométricas mucho más ricas más allá de las variedades clásicas.

Para crear un esquema X, se deben realizar los siguientes pasos:

  1. Tomar una colección de espectros de anillos Spec(A_i) para algún índice i.
  2. Unirlos usando datos de unión que satisfacen ciertas condiciones de coherencia (similar a cómo se pueden construir objetos geométricos como un toro uniendo piezas más simples).

Representación visual de un plan

Visualizar esquemas puede ser abstracto, pero veamos un ejemplo simple de unión. Considere dos líneas representadas por Spec(A) y Spec(B) donde A y B son dos anillos diferentes. Para formar un esquema, estas líneas pueden unirse a lo largo de algunas áreas especificadas.

Spec(A) Spec(B) área de unión

La visualización anterior proporciona un efecto geométrico simple donde dos objetos algebraicos pueden "unirse" en el sentido algebraico para formar un nuevo objeto. Esto es similar a la construcción de espacios topológicos utilizando segmentos locales.

Poder y aplicación de los esquemas

Los esquemas ofrecen a los matemáticos una enorme flexibilidad y generalidad que las variaciones clásicas no pueden proporcionar. Aquí hay algunas áreas donde los esquemas muestran su fuerza completa:

Tratamiento de singularidades

Las singularidades, es decir, puntos donde los objetos geométricos no se comportan bien, como una cúspide o una autointersección, se pueden tratar elegantemente usando esquemas. A diferencia de las variaciones, que luchan para manejar ciertos tipos de singularidades, los esquemas no requieren que el campo subyacente sea finito, abriendo así puertas a nuevas soluciones.

Ejemplo: La ecuación y^2 = x^3 + x^2 tiene una cúspide en el origen.
Un plan puede fácilmente "navegar" o desintegrar tales espacios.

Geometría aritmética

Los esquemas permiten que el campo de la geometría algebraica se extienda a la teoría de números, en un campo llamado geometría aritmética. Cuando los esquemas se construyen sobre el anillo de los enteros, se vuelve más fácil considerar preguntas sobre enteros y números primos en un contexto geométrico, lo que resulta útil en problemas que involucran ecuaciones diofánticas.

Integración de conceptos algebraicos y geométricos

Finalmente, los esquemas combinan el lenguaje de la geometría (topología y espacios) con la precisión del álgebra (anillos y funciones), permitiendo que las ideas de diferentes campos matemáticos interactúen sin problemas. Esto convierte a los esquemas en una parte fundamental de la geometría algebraica moderna y la teoría de números.

Desarrollo histórico y significado

El concepto de este esquema fue desarrollado por Alexander Grothendieck, uno de los matemáticos más influyentes del siglo XX. Su trabajo tenía como objetivo corregir las limitaciones inherentes a las teorías más antiguas de las variedades algebraicas, lo que provocó una transformación en el campo de la geometría algebraica.

Las ideas revolucionarias de Grothendieck allanaron el camino para el desarrollo de más teorías matemáticas, profundizando nuestra comprensión de las propiedades de los espacios geométricos y las ecuaciones algebraicas. Hoy en día, los esquemas proporcionan el marco arquitectónico para muchas investigaciones matemáticas modernas, y la investigación en curso continúa ampliando sus capacidades.


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