Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Геометрия → Алгебраическая геометрия ↓


Аффинные и проективные многообразия


В алгебраической геометрии одним из фундаментальных понятий являются многообразия, которые представляют собой геометрические выражения алгебраических уравнений. Аффинные и проективные многообразия служат строительными блоками для понимания более сложных пространств. Давайте углубимся в эти концепции, начав с аффинных многообразий и затем изучив проективные многообразия.

Аффинные многообразия

Аффинное многообразие определяется как множество решений системы полиномиальных уравнений. Эти решения находятся в аффинном пространстве, обозначаемом как (mathbb{A}^n), где n — положительное целое число, указывающее размерность пространства.

Рассмотрим простой пример в двумерном аффинном пространстве (mathbb{A}^2). Предположим, у нас есть полиномиальное уравнение:

f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0

Множество всех точек (x, y), которые делают уравнение истинным, является аффинным многообразием. В этом случае оно представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом 1.

Визуальный пример: окружность

С точки зрения алгебраической геометрии важно отметить, что аффинные многообразия более сложные, чем их визуальные аналоги. Это множества решений конечных наборов полиномиальных уравнений. Чем больше у вас уравнений, тем более ограничены точки на вашем многообразии.

Если вы введете второе полиномиальное уравнение, например:

g(x, y) = x + y - 0.5 = 0

Тогда для нахождения пересечения вы решаете f(x, y) = 0 и g(x, y) = 0 одновременно, в результате чего получается новое многообразие по их пересечению.

Визуальный пример: пересечение окружности и линии

В этом примере аффинное многообразие представляет собой две точки, где линия пересекает окружность.

Проективные многообразия

Проективные многообразия поднимают концепцию аффинных многообразий на более высокий уровень, учитывая решения в проективном пространстве, обозначаемом как (mathbb{P}^n). Проективные пространства учитывают точки на бесконечности, которые аффинные пространства игнорируют.

Чтобы перейти от аффинного многообразия к проективному, полиномиальные уравнения переписываются в однородных координатах. В однородных координатах точка ((x, y, z)) в проективном пространстве удовлетворяет отношению эквивалентности:

(x, y, z) sim (kx, ky, kz) quad text{для всех} quad k neq 0

Это позволяет идентифицировать точки, лежащие на одной и той же линии, проходящей через начало координат.

Рассмотрим полиномы из аффинного примера. В проективном пространстве окружность x^2 + y^2 - 1 = 0 расширяется до:

X^2 + Y^2 = Z^2

Когда Z = 0, уравнение X^2 + Y^2 = 0 определяет точки на окружности на бесконечности.

Визуальный пример: окружности в проективном пространстве

Плоскость Z=0

Продвинутая окружность теперь учитывает не только конечную часть, видимую в (mathbb{A}^2), но и аспекты, простирающиеся до бесконечности, предоставляя глобальную перспективу на геометрию.

Свойства аффинных и проективных многообразий

Аффинные и проективные многообразия обладают внутренними свойствами, которые делают их полезными при изучении алгебраической геометрии:

  • Неразложимость: Многообразие неразложимо, если оно не может быть выражено как объединение двух собственных подмногообразий. Каждая неразложимая компонента представляет собой отдельную часть множества решений.
  • Размерность: Размерность многообразия является абстрактным понятием, равным наибольшему количеству параметров, необходимых для описания точки на многообразии.
  • Степень: Степень многообразия представляет собой количество пересечений нормальной линии с этим многообразием.

Чтобы глубже понять аффинные и проективные многообразия, важно понять природу полиномов. Эти геометрические единицы помогают алгебраическим геометрам решать фундаментальные задачи в области, такие как определение возможных форм и способов взаимодействия этих форм друг с другом.

Приложения и дальнейшие исследования

Изучение аффинных и проективных многообразий находит применение не только в теоретической математике, но и в различных областях, таких как робототехника (для решения обратной кинематики), компьютерное зрение (для понимания распознавания изображений) и физика (для концепций, связанных с теорией струн).

Математики исследуют эти пространства, используя вычислительное программное обеспечение для изучения сложных вариаций, выходящих за пределы рукописных плоскостей, и для расширения границ вычислений с помощью символьных систем, которые обрабатывают полиномиальные решения.

Это понимание аффинных и проективных многообразий как основных концепций вдохновило на дальнейшие исследования в области алгебраической геометрии, что в конечном итоге привело к лучшему пониманию геометрических структур, которые определяют математические теории и практические приложения.


Докторантура → 4.2.1


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (4.2)
Алгебраическая геометрия
следующая (4.2.2) →
Планы

комментарии 



Аффинные и проективные многообразия

https://www.buddymath.com/phd/4.2.1?bmal=ru