Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Variedades afines y proyectivas


En geometría algebraica, uno de los conceptos fundamentales son las variedades, que son expresiones geométricas de ecuaciones algebraicas. Las variedades afines y proyectivas sirven como bloques de construcción para comprender espacios más complejos. Profundicemos en estos conceptos, comenzando con las variedades afines y luego explorando las variedades proyectivas.

Variedades afines

Una variedad afín se define como el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas. Estas soluciones viven en un espacio afín, denotado como (mathbb{A}^n), donde n es un entero positivo que indica la dimensión del espacio.

Considera un ejemplo simple en un espacio afín bidimensional, (mathbb{A}^2) Supongamos que tenemos la ecuación polinómica:

f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0

El conjunto de todos los puntos (x, y) que hacen que la ecuación sea verdadera es una variedad afín. En este caso, representa un círculo centrado en el origen con radio 1.

Ejemplo visual: círculo

En términos de geometría algebraica, es importante notar que las variedades afines son más complicadas que sus contrapartes visuales. Son los conjuntos de solución de conjuntos finitos de ecuaciones polinómicas. Cuantas más ecuaciones tengas, más limitados estarán los puntos en tu variedad.

Si introduces una segunda ecuación polinómica, por ejemplo:

g(x, y) = x + y - 0.5 = 0

Entonces, para encontrar la intersección, resuelves f(x, y) = 0 y g(x, y) = 0 simultáneamente, resultando en una nueva variedad por su intersección.

Ejemplo visual: intersección de un círculo y línea

En este ejemplo, la variedad afín representa los dos puntos donde la línea interseca el círculo.

Variedades proyectivas

Las variedades proyectivas llevan el concepto de variedades afines a un nivel más holístico al considerar soluciones en un espacio proyectivo, denotado por (mathbb{P}^n) Los espacios proyectivos toman en consideración puntos en el infinito, que los espacios afines ignoran.

Para pasar de la variedad afín a la proyectiva, las ecuaciones polinómicas se reescriben en coordenadas homogéneas. En coordenadas homogéneas, un punto ((x, y, z)) en el espacio proyectivo satisface la relación de equivalencia:

(x, y, z) sim (kx, ky, kz) quad text{para todo} quad k neq 0

Esto hace posible identificar puntos que están en la misma línea que pasa por el origen.

Considera los polinomios del ejemplo afín. En el espacio proyectivo, el círculo x^2 + y^2 - 1 = 0 se extiende a:

X^2 + Y^2 = Z^2

Cuando Z = 0, la ecuación X^2 + Y^2 = 0 define los puntos en el círculo en el infinito.

Ejemplo visual: círculos en el espacio proyectivo

Plano Z=0

El círculo avanzado ahora considera más que solo la porción finita que aparece en (mathbb{A}^2); también incluye aspectos que se extienden hacia el infinito, brindando una perspectiva global sobre la geometría.

Propiedades de las variedades afines y proyectivas

Las variedades afines y proyectivas tienen propiedades intrínsecas que las hacen útiles en el estudio de la geometría algebraica:

  • Irreducibilidad: Una variedad es irreducible si no puede expresarse como la unión de dos sub-variedades propias. Cada componente irreducible representa un componente diferente del conjunto de soluciones.
  • Dimensión: La dimensión de una variedad es un concepto abstracto, igual al mayor número de parámetros necesarios para describir un punto en la variedad.
  • Grado: El grado de una variedad representa el número de intersecciones de una línea normal con esa variedad.

Para obtener una comprensión más profunda de las variedades afines y proyectivas, es importante entender la naturaleza de los polinomios. Estas unidades geométricas ayudan a los geómetras algebraicos a abordar problemas fundamentales en el campo, como determinar las formas posibles y las maneras en que estas formas interactúan entre sí.

Aplicaciones y exploración adicional

El estudio de las variedades afines y proyectivas tiene aplicaciones no solo en matemáticas teóricas, sino también en varios campos como la robótica (para resolver cinemática inversa), visión por computadora (para comprender el reconocimiento de imágenes) y física (para conceptos relacionados con la teoría de cuerdas).

Los matemáticos exploran estos espacios utilizando software computacional para examinar variaciones complejas más allá del plano dibujado a mano y para empujar los límites de la computación con sistemas simbólicos que manejan soluciones polinómicas.

Esta comprensión de las variedades afines y proyectivas como conceptos fundamentales inspiró exploraciones adicionales en el ámbito de la geometría algebraica, lo que llevó en última instancia a una mejor comprensión de las estructuras geométricas que gobiernan las teorías matemáticas y las aplicaciones prácticas.


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