Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

Doutorado → Geometria → Geometria diferencial ↓


Geometria Riemanniana


A geometria riemanniana é um ramo da geometria diferencial que estuda variedades suaves com uma métrica riemanniana, que é uma maneira de introduzir o conceito de distância nessas variedades. O campo leva o nome do matemático alemão Bernhard Riemann, que primeiro propôs a ideia no século XIX. A geometria riemanniana está profundamente conectada a vários ramos da matemática e tem amplas aplicações na física, especialmente na teoria da relatividade geral.

No seu cerne, a geometria riemanniana visa generalizar a geometria familiar de superfícies e curvas no espaço tridimensional para espaços de dimensões superiores. Na geometria clássica, as propriedades das formas e figuras geralmente são estudadas em um espaço plano, euclidiano. No entanto, muitas ideias geométricas interessantes requerem a consideração de espaços que podem ter curvatura, e estes são naturalmente tratados usando as ferramentas da geometria riemanniana.

Variedades Riemannianas

As variedades riemannianas são os objetos centrais de estudo na geometria riemanniana. Uma variedade é uma estrutura matemática que se assemelha muito ao espaço euclidiano em uma pequena escala. Pense na superfície da Terra: enquanto localmente ela parece plana, globalmente possui uma forma curva, esférica.

Uma variedade riemanniana é uma variedade equipada com uma estrutura adicional chamada métrica riemanniana. A métrica riemanniana permite medir os comprimentos das curvas, os ângulos entre vetores e as distâncias entre pontos. Esta métrica codifica todas as informações geométricas sobre a forma da variedade.

Definição da métrica riemanniana

A métrica riemanniana g em uma variedade diferenciável M é uma forma bilinear simétrica e positiva-definida definida no espaço tangente T_pM em cada ponto p de M. Isso significa que, para quaisquer dois vetores tangentes u e v no ponto p, existe um número real g_p(u, v) que satisfaz as seguintes propriedades:

  • Simetria: g_p(u, v) = g_p(v, u)
  • Linearidade: g_p(au+bv, w) = a g_p(u, w) + b g_p(v, w) para escalares a, b e vetor tangente w.
  • Positiva-definitude: g_p(u, u) > 0 se u não for o vetor zero.

A positiva-definitude garante que os conceitos de comprimento e ângulo possam ser completamente definidos.

Visualização das métricas Riemannianas

V You

Em nossa visualização, suponha que o círculo esteja em um ponto p na variedade. Os vetores u e v são vetores tangentes nesse ponto, definidos no espaço tangente. A métrica ajuda a medir os ângulos e as distâncias entre eles.

Calculando distâncias em uma variedade riemanniana

Vejamos um exemplo básico de cálculo da distância entre dois pontos em uma variedade riemanniana. No espaço euclidiano, a linha reta entre dois pontos é a menor distância. Em uma variedade riemanniana, isso muitas vezes não é o caso porque o espaço pode ser curvo.

Considere uma variedade bidimensional simples M e dois pontos p e q nesta variedade. A distância d(p, q) é calculada como o mínimo dos comprimentos de todas as curvas suaves que conectam esses pontos.

    d(p, q) = inf { L(c) | c: [0, 1] -> M é uma curva suave com c(0) = p, c(1) = q }

onde L(c) é o comprimento riemanniano de uma curva c, calculado como:

    L(c) = ∫ √(g_{c(t)}(c'(t), c'(t))) dt, t = 0 a 1

Essa expressão matemática define o comprimento de uma curva usando a métrica riemanniana.

Curvatura na geometria riemanniana

A curvatura é um conceito central na geometria riemanniana. Ela descreve como uma variedade se dobra ou torce. A curvatura de uma variedade é codificada pelo tensor de curvatura riemanniano.

Tensor de curvatura Riemanniano

O tensor de curvatura riemanniano R em um ponto p em uma variedade riemanniana nos ajuda a entender a curvatura intrínseca da variedade. Ele é dado como:

    r(x,y)z = ∇_x ∇_y z - ∇_y ∇_x z + ∇_[x,y]z

onde ∇ denota a derivada covariante e X, Y, Z são campos vetoriais.

Curvatura Gaussiana

A curvatura gaussiana é uma característica de superfícies que compreende a quantidade pela qual a superfície se desvia de ser plana. Matematicamente, é definida para uma superfície bidimensional dentro de uma variedade da seguinte forma:

    K = det(II) / det(I)

onde I e II são as primeiras e segundas formas fundamentais da superfície, respectivamente.

Em termos simples, a curvatura gaussiana descreve como uma superfície se dobra no espaço. É positiva para superfícies convexas como a esfera, zero para superfícies planas como o plano, e negativa para superfícies em forma de sela.

Geodésia

Na geometria riemanniana, geodésicas são uma generalização da noção de "linha reta" para espaços curvos. Localmente, uma geodésica entre dois pontos em uma variedade é o caminho mais curto que os conecta.

Equações geodésicas

Para determinar geodésicas, resolvemos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem conhecida como a equação geodésica:

    ∇_{c'(t)} c'(t) = 0

onde c(t) é a curva parametrizada por t. Esta equação mostra que a aceleração da curva deve sempre permanecer tangente à variedade, semelhante a como forças gravitacionais afetam corpos no espaço.

Isometria Riemanniana

Uma isometria de uma variedade riemanniana é um mapeamento que preserva distâncias entre duas variedades riemannianas. Formalmente, se (M, g) e (N, h) são duas variedades riemannianas, então um difeomorfismo f: M → N é uma isometria se:

    h(f_*(X), f_*(Y)) = g(X, Y)

Para quaisquer vetores X e Y, a simetria nos permite explorar a ideia de geometria equivalente.

Aplicações da geometria riemanniana

A geometria riemanniana tem muitas aplicações em campos teóricos e práticos. Um de seus principais usos é na relatividade geral, onde a variedade espaço-tempo é modelada como uma variedade riemanniana quadridimensional com uma métrica lorentziana.

Além disso, a geometria riemanniana encontra seu lugar em aprendizado de máquina, visão computacional e robótica, permitindo a interpretação de dados em variedades, alinhamento de conjuntos de dados e planejamento de movimento em ambientes complexos.

Conclusão

A geometria riemanniana é uma área fascinante e poderosa da matemática que tem uma influência profunda em uma variedade de disciplinas científicas e de engenharia. Ao fornecer um marco para explorar curvatura e medida em espaços não euclidianos, este campo permite uma compreensão mais profunda tanto de teorias matemáticas abstratas quanto de fenômenos tangíveis e do mundo real.


Doutorado → 4.1.2


U
username
0%
concluído em Doutorado

← Anterior (4.1.1)
Curvas e superfícies na geometria diferencial
Próximo (4.1.3) →
Compreendendo geodésicas na geometria diferencial

Comentários 



Geometria Riemanniana

https://www.buddymath.com/phd/4.1.2?bmal=pt