रीमान ज्यामिति

रीमान ज्यामिति, अंतरकलन ज्यामिति की एक शाखा है जो रियमनियन गणित के साथ चिकनी सदिशों को अध्ययन करती है, जो इन सदिशों पर दूरी की अवधारणा को पेश करने का एक तरीका है। यह क्षेत्र जर्मन गणितज्ञ बर्नहार्ड रीमान के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने पहली बार 19वीं सदी में इस विचार को प्रस्तावित किया था। रियमान ज्यामिति का विभिन्न गणितीय शाखाओं से गहरा संबंध है और इसका भौतिकी में, विशेष रूप से सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत में, व्यापक अनुप्रयोग है।

अपने मूल में, रियमान ज्यामिति का उद्देश्य तीन-आयामी स्थान में सतहों और वक्रों की परिचित ज्यामिति को उच्च-आयामी स्थानों में सामान्यीकरण करना है। शास्त्रीय ज्यामिति में, आकारों और आंकड़ो के गुणों का अध्ययन आमतौर पर समतल, यूक्लीडियन स्थान में किया जाता है। हालाँकि, कई रोचक ज्यामिति अवधारणाओं की आवश्यकता होती है कि स्थानों को वक्रता हो सकती है, और इनको स्वाभाविक रूप से रियमान ज्यामिति के उपकरणों का उपयोग करके संभाला जाता है।

रीमानियन सदिश

रीमानियन सदिश रियमान ज्यामिति में अध्ययन के मुख्य विषय होते हैं। एक सदिश एक गणितीय संरचना है जो छोटे पैमाने पर यूक्लीडियन स्थान की तरह दिखती है। पृथ्वी की सतह के बारे में सोचें: जबकि यह स्थानीय रूप से समतल दिखाई देती है, वैश्विक रूप से इसका वक्र, गोलाकार आकार होता है।

एक रीमानियन सदिश एक सदिश होता है जिसमें एक अतिरिक्त संरचना होती है जिसे रीमानियन गणित कहा जाता है। रीमानियन गणित वक्रों की लंबाई, वेक्टरों के बीच की कोणें और बिंदुओं के बीच की दूरियां मापने की अनुमति देता है। यह गणित सदिश के आकार के बारे में सभी ज्यामितीय जानकारी को एनकोड करता है।

रीमानियन गणित की परिभाषा

रीमानियन गणित g एक अंतर्क्रियात्मक सदिश M पर एक सहकारी, सकारात्मक-निश्चित द्वि-रैखिक रूप है जो प्रत्येक बिंदु p के स्पर्श स्थान T_pM पर परिभाषित होता है। इसका मतलब है कि किसी भी दो स्पर्श वेक्टर u और v बिंदु p पर, एक वास्तविक संख्या g_p(u, v) होती है जो निम्नलिखित गुणधर्मों को संतुष्ट करती है:

• सहमिति: g_p(u, v) = g_p(v, u)
• रेखीयता: g_p(au+bv, w) = a g_p(u, w) + b g_p(v, w) स्केलर्स a, b और स्पर्श वेक्टर w के लिए।
• सकारात्मक-निश्चय: g_p(u, u) > 0 अगर u शून्य वेक्टर नहीं है।

सकारात्मक-निश्चय यह सुनिश्चित करता है कि लंबाई और कोणों की अवधारणाएं पूर्ण रूप से परिभाषित की जा सकती हैं।

रीमानियन गणित का दृश्य

हमारे दृश्य में, मान लीजिए कि यह वृत्त सदिश p पर एक बिंदु है। वेक्टर u और v इस बिंदु पर स्पर्श वेक्टर होते हैं, जो स्पर्श स्थान में परिभाषित होते हैं। गणित उन्हें बीच के कोणों और दूरियों को मापने में मदद करता है।

रीमानियन सदिश पर दूरी की गणना

आइए एक मूल उदाहरण देखें कि एक रीमानियन सदिश पर दो बिंदुओं के बीच दूरी कैसे गणना की जाती है। यूक्लीडियन स्थान में, दो बिंदुओं के बीच सीधी रेखा सबसे छोटी दूरी होती है। एक रीमानियन सदिश पर, यह अक्सर मामला नहीं होता क्योंकि स्थान घुमावदार हो सकता है।

एक सरल दो-आयामी सदिश M और इस सदिश पर दो बिंदु p और q पर विचार करें। दूरी d(p, q) सभी सुगम वक्रों की लंबाई के न्यूनतम के रूप में गणना की जाती है जो इन बिंदुओं को जोड़ती हैं।

    d(p, q) = inf { L(c) | c: [0, 1] -> M is a smooth curve with c(0) = p, c(1) = q }

जहां L(c) वक्र c की रीमानियन लंबाई है, जो इस प्रकार गणना की जाती है:

    L(c) = ∫ √(g_{c(t)}(c'(t), c'(t))) dt, t = 0 to 1

यह गणितीय अभिव्यक्ति वक्र की लंबाई को रीमानियन गणित का उपयोग करके परिभाषित करती है।

रीमान ज्यामिति में वक्रता

वक्रता रीमान ज्यामिति में केंद्रित अवधारणा है। यह बताती है कि किसी सदिश का कौनसा भाग मोड़ता है, मरोड़ता है, या मुड़ता है। सदिश की वक्रता रीमान वक्रता टेंसर द्वारा एनकोड की जाती है।

रीमान वक्रता टेंसर

रीमान वक्रता टेंसर R एक रीमानियन सदिश में एक बिंदु p पर हमें सदिश की अंतःविषयक वक्रता को समझने में मदद करता है। इसे इस प्रकार दिया गया है:

    r(x,y)z = ∇_x ∇_y z - ∇_y ∇_x z + ∇_[x,y]z

जहां ∇ कोवेरिएंट डेरिवेटिव को दर्शाता है और X, Y, Z वेक्टर क्षेत्र हैं।

गॉसियन वक्रता

गॉसियन वक्रता सतहों की एक विशेषता होती है जिसमें सतह के समतल होने से कितना विक्षेप होता है। गणितीय रूप से, यह एक सदिश में एक दो-आयामी सतह के लिए इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

    K = dat(II) / dat(I)

जहां I और II सतह के प्रथम और द्वितीय मौलिक रूप होते हैं, क्रमशः।

सरल शब्दों में, गॉसियन वक्रता यह वर्णन करता है कि एक सतह अंतरिक्ष में कैसे मुड़ती है। यह गोल आकार की सतहों के लिए सकारात्मक होती है जैसे कि गोला, समतल सतहों के लिए शून्य होती है जैसे कि तल, और काठीआकार की सतहों के लिए नकारात्मक होती है।

भौगोलिकी

रीमान ज्यामिति में, जियोडेसिक्स वक्र सतहों के लिए "सीधी रेखा" की अवधारणा का सामान्यीकरण होती हैं। स्थानीय रूप से, किसी सदिश पर दो बिंदुओं के बीच एक जियोडेसिक उन्हें जोड़ने वाला सबसे छोटा मार्ग होती है।

जियोडेसिक समीकरण

जियोडेसिक्स को निर्धारित करने के लिए, हम एक द्वितीय-क्रम साधारण भिन्नात्मक समीकरण को हल करते हैं जिसे जियोडेसिक समीकरण कहा जाता है:

    ∇_{c'(t)} c'(t) = 0

जहां c(t) वक्र है जो t द्वारा पैरामीट्राइज़ किया गया है। इस समीकरण से दिखता है कि वक्र का त्वरण हमेशा सदिश के स्पर्शित बना रहना चाहिए, जैसे गुरुत्वाकर्षण शक्तियाँ अंतरिक्ष में शरीरों को प्रभावित करती हैं।

रीमानियन समरूपता

समरूपी एक रीमानियन सदिश का वह नक्शा होता है जो दो रीमानियन सदिशों के बीच दूरी संरक्षित करता है। औपचारिक रूप से, यदि (M, g) और (N, h) दो रीमानियन सदिश हैं, तो एक डिफियोमॉर्फ़िज़्म f: M → N एक समरूपी है यदि:

    h(f_*(X), f_*(Y)) = g(X, Y)

किसी भी वेक्टर X और Y के लिए, सहमिति हमें समान ज्यामिति के विचार को एक्सप्लोर करने की अनुमति देती है।

रीमान ज्यामिति के अनुप्रयोग

रीमान ज्यामिति के कई अनुप्रयोग हैं, जो कि सैद्धांतिक और प्रयुक्त दोनों क्षेत्रों में विस्तार करते हैं। इसका एक मुख्य उपयोग सामान्य सापेक्षता में होता है, जहां अंतरिक्ष समय का सदिश को चार-आयामी रीमानियन सदिश के रूप में मॉडल किया जाता है जिसमें एक लोरेंट्जियन गणित होती है।

इसके अलावा, रीमान ज्यामिति मशीन लर्निंग, कंप्यूटर विजन, और रोबोटिक्स में अपना स्थान पाती है, जिससे सदिशों पर डेटा की व्याख्या, डेटा सेट्स का संरेखण, और जटिल वातावरण में गति की योजना बनती है।

निष्कर्ष

रीमान ज्यामिति गणित का एक अद्वितीय और शक्तिशाली क्षेत्र है जो विज्ञान और अभियंत्रिकीय शाखाओं पर गहरा प्रभाव डालता है। गैर-यूक्लीडियन स्थानों के भीतर वक्रता और माप के अन्वेषण के लिए एक रूपरेखा प्रदान करके, यह क्षेत्र दोनों अमूर्त गणितीय सिद्धांतों और ठोस, वास्तविक जीवन की घटनाओं की गहरी समझ की अनुमति देता है।

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