Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Geometría Riemanniana


La geometría riemanniana es una rama de la geometría diferencial que estudia las variedades suaves con una métrica riemanniana, que es una forma de introducir el concepto de distancia en estas variedades. El campo lleva el nombre del matemático alemán Bernhard Riemann, quien propuso la idea por primera vez en el siglo XIX. La geometría riemanniana está profundamente conectada con varias ramas de las matemáticas y tiene amplias aplicaciones en la física, especialmente en la teoría de la relatividad general.

En su núcleo, la geometría riemanniana tiene como objetivo generalizar la geometría familiar de superficies y curvas en el espacio tridimensional a espacios de dimensiones superiores. En la geometría clásica, las propiedades de las formas y figuras generalmente se estudian en un espacio plano y euclidiano. Sin embargo, muchas ideas geométricas interesantes requieren considerar espacios que pueden tener curvatura, y estos se manejan naturalmente utilizando las herramientas de la geometría riemanniana.

Variedades riemannianas

Las variedades riemannianas son los objetos centrales de estudio en la geometría riemanniana. Una variedad es una estructura matemática que se asemeja mucho al espacio euclidiano en una escala pequeña. Piensa en la superficie de la Tierra: localmente parece plana, pero globalmente tiene una forma curva y esférica.

Una variedad riemanniana es una variedad equipada con una estructura adicional llamada métrica riemanniana. La métrica riemanniana permite medir las longitudes de las curvas, los ángulos entre vectores y las distancias entre puntos. Esta métrica codifica toda la información geométrica sobre la forma de la variedad.

Definición de la métrica riemanniana

La métrica riemanniana g en una variedad diferenciable M es una forma bilineal simétrica y definida positiva definida en el espacio tangente T_pM en cada punto p de M. Esto significa que para cualquier dos vectores tangentes u y v en el punto p, hay un número real g_p(u, v) que satisface las siguientes propiedades:

  • Simetría: g_p(u, v) = g_p(v, u)
  • Linealidad: g_p(au+bv, w) = a g_p(u, w) + b g_p(v, w) para los escalares a, b y el vector tangente w.
  • Definición positiva: g_p(u, u) > 0 si u no es el vector cero.

La definición positiva asegura que los conceptos de longitud y ángulo puedan definirse completamente.

Visualización de métricas riemannianas

V You

En nuestra visualización, supón que el círculo está en un punto p en la variedad. Los vectores u y v son vectores tangentes en este punto, definidos en el espacio tangente. La métrica ayuda a medir los ángulos y distancias entre ellos.

Calculo de distancias en una variedad riemanniana

Veamos un ejemplo básico de cálculo de la distancia entre dos puntos en una variedad riemanniana. En el espacio euclidiano, la línea recta entre dos puntos es la distancia más corta. En una variedad riemanniana, esto a menudo no es el caso porque el espacio puede estar curvado.

Considera una variedad bidimensional simple M y dos puntos p y q en esta variedad. La distancia d(p, q) se calcula como el mínimo de las longitudes de todas las curvas suaves que conectan estos puntos.

    d(p, q) = inf { L(c) | c: [0, 1] -> M es una curva suave con c(0) = p, c(1) = q }

donde L(c) es la longitud riemanniana de una curva c, calculada como:

    L(c) = ∫ √(g_{c(t)}(c'(t), c'(t))) dt, t = 0 to 1

Esta expresión matemática define la longitud de una curva usando la métrica riemanniana.

Curvatura en la geometría riemanniana

La curvatura es un concepto central en la geometría riemanniana. Describe cómo una variedad se dobla, gira o tuerce. La curvatura de una variedad está codificada por el tensor de curvatura de Riemann.

Tensor de curvatura de Riemann

El tensor de curvatura de Riemann R en un punto p en una variedad riemanniana nos ayuda a entender la curvatura intrínseca de la variedad. Se da como:

    r(x,y)z = ∇_x ∇_y z - ∇_y ∇_x z + ∇_[x,y]z

donde ∇ denota la derivada covariante y X, Y, Z son campos vectoriales.

Curvatura gaussiana

La curvatura gaussiana es una característica de las superficies que comprende la cantidad en que la superficie se desvía de ser plana. Matemáticamente, se define para una superficie bidimensional dentro de una variedad como sigue:

    K = dat(II) / dat(I)

donde I y II son las primeras y segundas formas fundamentales de la superficie, respectivamente.

En pocas palabras, la curvatura gaussiana describe cómo una superficie se dobla en el espacio. Es positiva para superficies convexas como la esfera, cero para superficies planas como el plano y negativa para superficies en forma de silla.

Geodesia

En la geometría riemanniana, las geodésicas son una generalización de la noción de "línea recta" a espacios curvados. Localmente, una geodésica entre dos puntos en una variedad es el camino más corto que los conecta.

Ecuaciones geodésicas

Para determinar las geodésicas, resolvemos una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden conocida como la ecuación geodésica:

    ∇_{c'(t)} c'(t) = 0

donde c(t) es la curva parametrizada por t. Esta ecuación demuestra que la aceleración de la curva debe permanecer siempre tangente a la variedad, similar a cómo las fuerzas gravitacionales afectan a los cuerpos en el espacio.

Isometría riemanniana

Una isometría de una variedad riemanniana es un mapa que preserva las distancias entre dos variedades riemannianas. Formalmente, si (M, g) y (N, h) son dos variedades riemannianas, entonces un difeomorfismo f: M → N es una isometría si:

    h(f_*(X), f_*(Y)) = g(X, Y)

Para cualquier vector X y Y, la simetría nos permite explorar la idea de la geometría equivalente.

Aplicaciones de la geometría riemanniana

La geometría riemanniana tiene muchas aplicaciones en campos tanto teóricos como aplicados. Uno de sus mayores usos es en la relatividad general, donde la variedad del espacio-tiempo es modelada como una variedad riemanniana de cuatro dimensiones con una métrica lorentziana.

Además, la geometría riemanniana encuentra su lugar en el aprendizaje automático, la visión por computadora y la robótica, permitiendo la interpretación de datos en variedades, la alineación de conjuntos de datos y la planificación de movimientos en entornos complejos.

Conclusión

La geometría riemanniana es un área fascinante y poderosa de las matemáticas que tiene una influencia profunda en una variedad de disciplinas científicas e ingenieriles. Proporcionando un marco para explorar la curvatura y la medida dentro de espacios no euclidianos, este campo permite una comprensión más profunda de las teorías matemáticas abstractas y de los fenómenos tangibles del mundo real.


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