Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура ↓


Топология


Топология — это увлекательная область математики, изучающая свойства, сохраняющиеся при деформации, вращении и растяжении объектов. Ее часто неофициально называют "геометрией резинового листа", подчеркивая, что объекты могут растягиваться и сгибаться без разрыва или прилипания.

Базовые концепции

В основе топологии лежит концепция топологического пространства. Топологическое пространство — это множество точек с набором окрестностей для каждой точки, удовлетворяющих набору аксиом, связывающих точки и окрестности. Это можно неформально рассматривать как способ говорить о непрерывности и протяженности без учета расстояния и меры, присущих метрическим пространствам.

Основные строительные блоки топологии включают следующие концепции:

  • Открытые и замкнутые множества: Топология в первую очередь занимается открытыми и замкнутыми множествами, а не точками. Открытое множество можно интуитивно рассматривать как подмножество пространства, которое не включает свою границу, в то время как замкнутое множество включает границу.
  • Непрерывность: функция считается непрерывной, если она отображает открытые множества в открытые множества. В контексте метрических пространств это определение похоже, но более общее, чем известное определение через эпсилон-дельта.
  • Гомеоморфизм: Это важная концепция, при которой два пространства считаются эквивалентными (гомеоморфными), если одно можно преобразовать в другое таким образом, что это преобразование и его обратное являются непрерывными.

Топологическое свойство — это свойство, сохраняющееся при гомеоморфизмах, такое как связность или компактность.

Визуальный пример

Давайте представим простой визуальный пример, чтобы понять, как топология изучает местоположения.

Рассмотрим чашку кофе и пончик. Топологически они считаются эквивалентными, потому что чашку можно преобразовать в пончик с помощью непрерывной деформации, без разрывов или прилипов.

Вот символическая иллюстрация:

Круг представляет собой пончик, а путь символизирует ручку чашки кофе.

Важные топологические свойства

Связность

Пространство считается связным, если его невозможно разбить на два непересекающихся непустых открытых множества. Связность касается идеи чего-то, находящегося "в одном куске". Например, круг является связным, потому что это непрерывная петля без разрывов.

Пример: Множество (0, 1) в вещественных числах связано, тогда как множество {0, 1} — нет.
Пример: Множество (0, 1) в вещественных числах связано, тогда как множество {0, 1} — нет.

Плотность

Пространство является компактным, если любое его открытое покрытие имеет конечное подмножество. По сути, это свойство обобщает понятие множества как замкнутого и ограниченного. Теорема Гейне–Бореля представляет собой известный результат, касающийся компактности в евклидовом пространстве.

Пример: Замкнутый интервал [0, 1] компактен в вещественных числах, тогда как (0, 1) — нет.
Пример: Замкнутый интервал [0, 1] компактен в вещественных числах, тогда как (0, 1) — нет.

Топологические пространства

Давайте более подробно рассмотрим, что такое топологическое пространство. Топологическое пространство — это множество ( X ), содержащее коллекцию ( mathcal{T} ) подмножеств ( X ). Коллекция ( mathcal{T} ) должна удовлетворять трем условиям:

  1. Пустое множество и само множество ( X ) принадлежат ( mathcal{T} ).
  2. Объединение любого количества множеств в ( mathcal{T} ) также принадлежит ( mathcal{T} ).
  3. Пересечение любого конечного количества множеств в ( mathcal{T} ) также присутствует в ( mathcal{T} ).

( (X, mathcal{T}) ) затем называется топологическим пространством, а элементы ( mathcal{T} ) — открытыми множествами пространства.

Примеры в различных местах

Пример евклидова пространства

Рассмотрим вещественные числа ( mathbb{R} ) со стандартной топологией. В этом случае открытыми множествами являются открытые интервалы, такие как ( (a, b) ).

Если ( a < b ), тогда (a, b) образует открытое множество в топологии ( mathbb{R} ).
Если ( a < b ), тогда (a, b) образует открытое множество в топологии ( mathbb{R} ).

Дискретная и неразделимая топология

Две другие простые, но фундаментальные топологии на любом множестве (X) — это дискретная и недискретная топологии.

Дискретная топология

В дискретной топологии каждое подмножество ( X ) открыто. Это означает, что топология состоит из всех возможных подмножеств ( X ).

Если ( X = {a, b} ), то дискретная топология равна ({emptyset, {a}, {b}, {a, b}}).
Если ( X = {a, b} ), то дискретная топология равна ({emptyset, {a}, {b}, {a, b}}).

Неразделимая топология

Неразделимая топология, иногда называемая тривиальной топологией, имеет только два открытых множества: все множество и пустое множество.

Если ( X = {a, b} ), то недискретная топология равна ({emptyset, {a, b}}).
Если ( X = {a, b} ), то недискретная топология равна ({emptyset, {a, b}}).

Сходимость и непрерывность

В топологии, в отличие от метрических пространств, сходимость и непрерывность определяются без понятия расстояния. Последовательность считается сходящейся к предельной точке, если для любой окрестности этой точки найдется такая точка в последовательности, что все последующие точки принадлежат этой окрестности.

Непрерывность функции ( f: X to Y ) между топологическими пространствами определяется как прообраз каждого открытого множества в ( Y ) является открытым в ( X ).

Применение и дальнейшие исследования

Топология имеет множество интересных применений за пределами чистой математики. Например, она играет важную роль в:

  • Физике: Особенно в областях общей теории относительности и квантовой теории поля, топология дает представление о форме и связности вселенной.
  • Анализе данных: Через такие методы, как топологический анализ данных (ТДА), который может извлекать значимые инсайты из сложных наборов данных.
  • Робототехнике: В задачах планирования путей понимание связности конфигурационного пространства может помочь в разработке алгоритмов для навигации.

Как область исследования топология остается активной сферой исследований, с множеством подразделов, таких как алгебраическая топология, дифференциальная топология и геометрическая топология, каждая из которых изучает различные аспекты и приложения.


Докторантура → 3


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (2.5.4)
Вейвлеты
следующая (3.1) →
Общая топология

комментарии 



Топология

https://www.buddymath.com/phd/3?bmal=ru