Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

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Topologia


Topologia é um campo fascinante da matemática que explora as propriedades que são preservadas através de deformação, rotação e estiramento de objetos. É frequentemente referida coloquialmente como "geometria de folha de borracha", o que enfatiza que objetos podem ser esticados e dobrados sem rasgar ou colar.

Conceitos Básicos

No núcleo da topologia está o conceito de um espaço topológico. Um espaço topológico é um conjunto de pontos, com um conjunto de vizinhanças para cada ponto, satisfazendo um conjunto de axiomas que relacionam pontos e vizinhanças. Isso pode ser informalmente pensado como uma forma de falar sobre continuidade e extensão sem o sabor de distância e medida encontrados em espaços métricos.

Os blocos de construção básicos da topologia incluem os seguintes conceitos:

  • Conjuntos abertos e fechados: A topologia está principalmente preocupada com conjuntos abertos e fechados, em vez de pontos. Um conjunto aberto pode ser intuitivamente pensado como qualquer subconjunto de um espaço que não inclui sua fronteira, enquanto um conjunto fechado inclui a fronteira.
  • Continuidade: uma função é contínua se transforma conjuntos abertos em conjuntos abertos. No contexto de espaços métricos, essa definição é semelhante, mas mais generalizada do que a conhecida definição epsilon–delta.
  • Homeomorfismo: Este é um conceito importante onde dois espaços são considerados equivalentes (homeomorfos) se um puder ser transformado no outro de tal forma que seja contínuo com um inverso contínuo.

Uma propriedade topológica é uma propriedade que é preservada sob homeomorfismos, como conexidade ou compacidade.

Exemplo Visual

Vamos imaginar um simples exemplo visual para entender como a topologia examina localizações.

Considere uma xícara de café e uma rosquinha. Topologicamente, esses dois são considerados equivalentes porque você pode transformar a xícara de café em uma rosquinha através de deformação contínua, sem rasgar ou colar.

Aqui está uma ilustração simbólica:

O círculo representa a rosquinha, e o caminho simboliza a alça da xícara de café.

Propriedades topológicas importantes

Conectividade

Diz-se que um espaço é conectado se não puder ser particionado em dois conjuntos disjuntos não vazios abertos. Conectividade é sobre a ideia de algo estar em "uma peça só". Por exemplo, um círculo é conectado porque é um laço contínuo sem qualquer quebra.

Exemplo: O conjunto (0, 1) nos números reais é conectado, enquanto o conjunto {0, 1} não é.
Exemplo: O conjunto (0, 1) nos números reais é conectado, enquanto o conjunto {0, 1} não é.

Densidade

Um espaço é compacto se toda cobertura aberta tiver uma subcobertura finita. Essencialmente, esta propriedade generaliza a noção de um conjunto ser fechado e delimitado. O teorema de Heine–Borel apresenta um resultado bem conhecido sobre compacidade no espaço euclidiano.

Exemplo: O intervalo fechado [0, 1] é compacto nos números reais, enquanto (0, 1) não é.
Exemplo: O intervalo fechado [0, 1] é compacto nos números reais, enquanto (0, 1) não é.

Espaços topológicos

Vamos dar uma olhada mais profunda no que é um espaço topológico. Um espaço topológico é um conjunto ( X ) contendo uma coleção ( mathcal{T} ) de subconjuntos de ( X ). A coleção ( mathcal{T} ) deve satisfazer três condições:

  1. O conjunto vazio e ( X ) em si pertencem a ( mathcal{T} ).
  2. A união de qualquer número de conjuntos em ( mathcal{T} ) também está em ( mathcal{T} ).
  3. A interseção de qualquer número finito de conjuntos em ( mathcal{T} ) também ocorre em ( mathcal{T} ).

( (X, mathcal{T}) ) é então referido como um espaço topológico, e os elementos de ( mathcal{T} ) são os conjuntos abertos do espaço.

Exemplos em várias localizações

Exemplo de espaço euclidiano

Considere os números reais ( mathbb{R} ) com a topologia padrão. Nesse caso, os conjuntos abertos são os intervalos abertos, como ( (a, b) ).

Se ( a < b ), então (a, b) forma um conjunto aberto na topologia de ( mathbb{R} ).
Se ( a < b ), então (a, b) forma um conjunto aberto na topologia de ( mathbb{R} ).

Topologia discreta e univariada

Duas outras topologias simples, mas fundamentais em qualquer conjunto (X) são as topologias discreta e inseparável.

Topologia discreta

Na topologia discreta, todo subconjunto de ( X ) é aberto. Isso significa que a topologia é composta por todos os subconjuntos possíveis de ( X ).

Se ( X = {a, b} ), então a topologia discreta é ({emptyset, {a}, {b}, {a, b}}).
Se ( X = {a, b} ), então a topologia discreta é ({emptyset, {a}, {b}, {a, b}}).

Topologia inseparável

A topologia discontínua, às vezes chamada de topologia trivial, tem apenas dois conjuntos abertos: o conjunto inteiro e o conjunto vazio.

Se ( X = {a, b} ), então a topologia indiscreta é ({emptyset, {a, b}}).
Se ( X = {a, b} ), então a topologia indiscreta é ({emptyset, {a, b}}).

Convergência e continuidade

Na topologia, ao contrário dos espaços métricos, convergência e continuidade são definidas sem uma noção de distância. Diz-se que uma sequência converge para um limite se, para qualquer vizinhança desse limite, houver um ponto na sequência onde todos os pontos subsequentes estejam dentro da vizinhança.

A continuidade de uma função ( f: X to Y ) entre espaços topológicos é definida como a pré-imagem de todo conjunto aberto em ( Y ) é aberta em ( X ).

Aplicações e estudos adicionais

A topologia tem muitas aplicações interessantes além da matemática pura. Por exemplo, desempenha um papel importante em:

  • Física: Especialmente nos campos da relatividade geral e teoria quântica de campos, a topologia fornece insights sobre a forma e conectividade do universo.
  • Análise de dados: Através de técnicas como análise topológica de dados (TDA), que podem extrair insights significativos de conjuntos de dados complexos.
  • Robótica: Em problemas de planejamento de trajetórias, entender a conectividade do espaço de configuração pode ajudar no desenvolvimento de algoritmos para navegação.

Como campo, a topologia continua sendo uma área de pesquisa ativa, com muitos subcampos, como topologia algébrica, topologia diferencial e topologia geométrica, cada um dos quais explora diferentes aspectos e aplicações.


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