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टोपोलॉजी
टोपोलॉजी गणित का एक आकर्षक क्षेत्र है जो उन गुणों का अध्ययन करता है जो वस्तुओं के विकृति, घुमाव और खींच से संग्रहीत होते हैं। इसे सामान्यतः "रबर-शीट ज्यामिति" के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो इस बात पर जोर देता है कि वस्तुएं फाड़े बिना और चिपके बिना खींच और मोड़ी जा सकती हैं।
मूलभूत अवधारणाएँ
टोपोलॉजी के केंद्र में टोपोलॉजिकल स्पेस की अवधारणा है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस बिंदुओं का सेट है, जिसमें प्रत्येक बिंदु के लिए पड़ोस का एक सेट होता है, जो बिंदुओं और पड़ोस से संबंधित कुछ सिद्धांतों को पूरा करता है। इसे अनौपचारिक रूप से निरंतरता और विस्तार के बारे में बात करने का एक तरीका समझा जा सकता है, जिसमें मेट्रिक स्पेस में पाई जाने वाली दूरी और माप का स्वाद नहीं होता।
टोपोलॉजी के मूलभूत निर्माण खंडों में निम्नलिखित अवधारणाएँ शामिल हैं:
- खुला और बंद सेट: टोपोलॉजी मुख्य रूप से खुला और बंद सेटों से संबंधित है न कि बिंदुओं से। एक खुला सेट किसी भी अंतरिक्ष के ऐसे उपसमुच्चय के रूप में सहज रूप से समझा जा सकता है जो अपनी सीमा शामिल नहीं करता, जबकि एक बंद सेट सीमा को शामिल करता है।
- निरंतरता: एक फ़ंक्शन निरंतर होता है यदि यह खुले सेटों को खुले सेटों में मैप करता है। मेट्रिक स्पेस के संदर्भ में, यह परिभाषा प्रसिद्ध एप्सिलन-डेल्टा परिभाषा के समान है लेकिन अधिक सामान्यीकृत है।
- होमियोमॉर्फिज़्म: यह एक महत्वपूर्ण अवधारणा है जहाँ दो अंतरिक्ष बराबर माने जाते हैं (होमियोमॉर्फिक) यदि एक को दूसरे में इस प्रकार परिवर्तित किया जा सकता है कि यह जारी रहता है और इसका निरंतर विपरीत होता है।
एक टोपोलॉजिकल गुण वह गुण होता है जो होमियोमॉर्फिज़्म के तहत संरक्षित होता है, जैसे कि जुड़ाव या संकुचन।
दृश्य उदाहरण
चलिये एक सरल दृश्य उदाहरण के माध्यम से समझते हैं कि टोपोलॉजी कैसे स्थानों का परीक्षा करती है।
कॉफी कप और डोनट पर विचार करें। टोपोलॉजी के अनुसार, इन दोनों को बराबर माना जाता है क्योंकि आप कॉफी कप को डोनट में एक निरंतर विकृति के माध्यम से परिवर्तित कर सकते हैं, बिना फाड़े या चिपके।
यहाँ एक प्रतीकात्मक चित्रण है:
वृत्त डोनट का प्रतिनिधित्व करता है, और पथ कॉफी कप के हैंडल का प्रतीक है।
महत्वपूर्ण टोपोलॉजिकल गुण
जुड़ने की क्षमता
कहा जाता है कि एक स्थान जुड़ा हुआ है यदि इसे दो असंबद्ध गैर-खाली खुले सेटों में विभाजित नहीं किया जा सकता है। जुड़ाव किसी चीज़ के "एक टुकड़े में" होने के विचार के बारे में है। उदाहरण के लिए, एक वृत्त जुड़ा हुआ है क्योंकि यह एक निरंतर लूप है बिना किसी टूट के।
उदाहरण: वास्तविक संख्याओं में सेट (0, 1) जुड़ा हुआ है, जबकि सेट {0, 1} नहीं है।उदाहरण: वास्तविक संख्याओं में सेट (0, 1) जुड़ा हुआ है, जबकि सेट {0, 1} नहीं है।
घनत्व
एक स्थान सघन है अगर हर खुले आवरण का एक सीमित सबआवरण है। मूल रूप से, यह गुण एक सेट के बंद और सीमित होने की धारणा को सामान्यीकृत करता है। हाइन–बोरेल प्रमेय यूक्लिडियन स्थान में संकेतन के बारे में एक प्रसिद्ध परिणाम प्रस्तुत करता है।
उदाहरण: बंद अंतराल [0, 1] वास्तविक संख्याओं में कॉम्पैक्ट है, जबकि (0, 1) नहीं है।उदाहरण: बंद अंतराल [0, 1] वास्तविक संख्याओं में कॉम्पैक्ट है, जबकि (0, 1) नहीं है।
टोपोलॉजिकल स्थान
चलिये देखते हैं कि एक टोपोलॉजिकल स्थान क्या है। एक टोपोलॉजिकल स्थान एक सेट ( X ) है जिसमें एक संग्रह ( mathcal{T} ) शामिल होता है जो ( X ) के उपसमुच्चय का होता है। संग्रह ( mathcal{T} ) को तीन शर्तें पूरी करनी चाहिए:
- खाली सेट और ( X ) स्वयं ( mathcal{T} ) में हों।
- किसी भी संख्या के सेटों का संघ जो ( mathcal{T} ) में हैं, वह भी ( mathcal{T} ) में है।
- किसी भी सीमित संख्या के सेटों का छेद जो ( mathcal{T} ) में होता है, ( mathcal{T} ) में भी होता है।
( (X, mathcal{T}) ) को तब एक टोपोलॉजिकल स्थान कहा जाता है, और ( mathcal{T} ) के तत्व उस स्थान के खुले सेट होते हैं।
विभिन्न स्थानों में उदाहरण
यूक्लिडियन स्थान उदाहरण
वास्तविक संख्याओं ( mathbb{R} ) के साथ मानक टोपोलॉजी पर विचार करें। इस मामले में, खुले सेट ऐसे खुला अंतराल होते हैं जैसे कि ( (a, b) )।
यदि ( a < b ), तो (a, b) ( mathbb{R} ) की टोपोलॉजी में एक खुला सेट बनता है।यदि ( a < b ), तो (a, b) ( mathbb{R} ) की टोपोलॉजी में एक खुला सेट बनता है।
विनियतन और एकांकी टोपोलॉजी
किसी भी सेट (X) पर दो सरल, फिर भी मौलिक टोपोलॉजीज़ हैं जो विनियतन और अविभाज्य टोपोलॉजीज़ हैं।
विनियतन टोपोलॉजी
विनियतन टोपोलॉजी में, ( X ) का हर उपसमुच्चय खुला होता है। इसका मतलब है कि टोपोलॉजी ( X ) के सभी संभव उपसमुच्चयों से बनी होती है।
यदि ( X = {a, b} ), तो विनियतन टोपोलॉजी ({emptyset, {a}, {b}, {a, b}}) होती है।यदि ( X = {a, b} ), तो विनियतन टोपोलॉजी ({emptyset, {a}, {b}, {a, b}}) होती है।
अविभाज्य टोपोलॉजी
अविभाज्य टोपोलॉजी, जिसे कभी-कभी त्रिवियल टोपोलॉजी भी कहा जाता है, में केवल दो खुले सेट होते हैं: पूरा सेट और खाली सेट।
यदि ( X = {a, b} ), तो अविभाज्य टोपोलॉजी ({emptyset, {a, b}}) है।यदि ( X = {a, b} ), तो अविभाज्य टोपोलॉजी ({emptyset, {a, b}}) है।
संकेतन और निरंतरता
टोपोलॉजी में, मेट्रिक स्थानों के विपरीत, संकेतन और निरंतरता को दूरी की धारणा के बिना परिभाषित किया गया है। अनुक्रम कहा जाता है कि वह एक सीमा तक संकुचित करता है यदि उस सीमा के किसी भी पड़ोस के लिए अनुक्रम में एक बिंदु होता है जहाँ से सभी आगामी बिंदु उस पड़ोस में होते हैं।
टोपोलॉजिकल स्थानों के बीच एक फ़ंक्शन ( f: X to Y ) की निरंतरता को Y में हर खुले सेट की प्री-इमेज X में खुली होती है के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अनुप्रयोग और आगे का अध्ययन
टोपोलॉजी के शुद्ध गणित के अलावा कई दिलचस्प अनुप्रयोग हैं। उदाहरण के लिए, यह महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है:
- भौतिकी: विशेष रूप से सामान्य सापेक्षता और क्वांटम फील्ड थ्योरी के क्षेत्रों में, टोपोलॉजी ब्रह्मांड की आकृति और संबंध में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।
- डेटा विश्लेषण: टोपोलॉजिकल डेटा विश्लेषण (TDA) जैसी तकनीकों के माध्यम से, जो जटिल डेटा सेट्स से अर्थपूर्ण अंतर्दृष्टि निकाल सकते हैं।
- रोबोटिक्स: पथ-योजना समस्याओं में, कॉन्फ़िगरेशन स्थान की कनेक्टिविटी को समझकर नेविगेशन के लिए एल्गोरिदम विकसित करने में सहायता हो सकती है।
एक क्षेत्र के रूप में, टोपोलॉजी सक्रिय अनुसंधान का एक क्षेत्र बना हुआ है, जिसमें कई उपक्षेत्र जैसे कि बीजगणितीय टोपोलॉजी, अवकलनात्मक टोपोलॉजी, और ज्यामितीय टोपोलॉजी शामिल हैं, जो कि विभिन्न पहलुओं और अनुप्रयोगों की खोज करते हैं।
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