Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Topología


La topología es un fascinante campo de las matemáticas que explora las propiedades que se preservan a través de la deformación, rotación y estiramiento de objetos. A menudo se le conoce coloquialmente como "geometría de hoja de goma", lo que enfatiza que los objetos pueden estirarse y doblarse sin rasgarse o pegarse.

Conceptos básicos

En el núcleo de la topología está el concepto de un espacio topológico. Un espacio topológico es un conjunto de puntos, con un conjunto de vecindarios para cada punto, que satisface un conjunto de axiomas que relacionan puntos y vecindarios. Esto puede pensarse informalmente como una forma de hablar sobre continuidad y extensión sin la noción de distancia y medida que se encuentra en los espacios métricos.

Los componentes básicos de la topología incluyen los siguientes conceptos:

  • Conjuntos abiertos y cerrados: La topología se preocupa principalmente por los conjuntos abiertos y cerrados en lugar de por los puntos. Un conjunto abierto se puede pensar intuitivamente como cualquier subconjunto de un espacio que no incluye su frontera, mientras que un conjunto cerrado incluye la frontera.
  • Continuidad: una función es continua si mapea conjuntos abiertos en conjuntos abiertos. En el contexto de los espacios métricos, esta definición es similar pero más general que la conocida definición epsilon–delta.
  • Homeomorfismo: Este es un concepto importante donde se considera que dos espacios son equivalentes (homeomorfos) si uno puede transformarse en el otro de tal manera que sea continuo con un inverso continuo.

Una propiedad topológica es una propiedad que se preserva bajo homeomorfismos, como la conexión o la compacidad.

Ejemplo visual

Imaginemos un simple ejemplo visual para entender cómo la topología examina ubicaciones.

Consideremos una taza de café y una rosquilla. Topológicamente, estos dos se consideran equivalentes porque puedes transformar la taza de café en una rosquilla mediante deformación continua, sin rasgar ni pegar.

Aquí hay una ilustración simbólica:

El círculo representa la rosquilla, y el camino simboliza el asa de la taza de café.

Propiedades topológicas importantes

Conectividad

Se dice que un espacio es conectado si no se puede dividir en dos conjuntos abiertos disjuntos y no vacíos. Conectividad es sobre la idea de algo que está en "una sola pieza". Por ejemplo, un círculo está conectado porque es un bucle continuo sin interrupciones.

Ejemplo: El conjunto (0, 1) en los números reales está conectado, mientras que el conjunto {0, 1} no lo está.
Ejemplo: El conjunto (0, 1) en los números reales está conectado, mientras que el conjunto {0, 1} no lo está.

Compacidad

Un espacio es compacto si cada cobertura abierta tiene un subcubrimiento finito. Esencialmente, esta propiedad generaliza la noción de un conjunto cerrado y limitado. El teorema de Heine–Borel presenta un resultado bien conocido respecto a la compacidad en el espacio euclídeo.

Ejemplo: El intervalo cerrado [0, 1] es compacto en los números reales, mientras que (0, 1) no lo es.
Ejemplo: El intervalo cerrado [0, 1] es compacto en los números reales, mientras que (0, 1) no lo es.

Espacios topológicos

Veamos en detalle qué es un espacio topológico. Un espacio topológico es un conjunto ( X ) que contiene una colección ( mathcal{T} ) de subconjuntos de ( X ). La colección ( mathcal{T} ) debe satisfacer tres condiciones:

  1. El conjunto vacío y ( X ) mismo pertenecen a ( mathcal{T} ).
  2. La unión de cualquier número de conjuntos en ( mathcal{T} ) también está en ( mathcal{T} ).
  3. La intersección de cualquier número finito de conjuntos en ( mathcal{T} ) también ocurre en ( mathcal{T} ).

( (X, mathcal{T}) ) se denomina entonces un espacio topológico, y los elementos de ( mathcal{T} ) son los conjuntos abiertos del espacio.

Ejemplos en varias ubicaciones

Ejemplo de espacio euclídeo

Consideremos los números reales ( mathbb{R} ) con la topología estándar. En este caso, los conjuntos abiertos son los intervalos abiertos tales como ( (a, b) ).

Si ( a < b ), entonces (a, b) forma un conjunto abierto en la topología de ( mathbb{R} ).
Si ( a < b ), entonces (a, b) forma un conjunto abierto en la topología de ( mathbb{R} ).

Topologías discretas e indivisibles

Dos otras topologías simples, pero fundamentales en cualquier conjunto (X) son las topologías discreta y separada.

Topología discreta

En la topología discreta, cada subconjunto de ( X ) es abierto. Esto significa que la topología está compuesta por todos los subconjuntos posibles de ( X ).

Si ( X = {a, b} ), entonces la topología discreta es ({emptyset, {a}, {b}, {a, b}}).
Si ( X = {a, b} ), entonces la topología discreta es ({emptyset, {a}, {b}, {a, b}}).

Topología indivisible

La topología descontínua, a veces llamada topología trivial, solo tiene dos conjuntos abiertos: el conjunto total y el conjunto vacío.

Si ( X = {a, b} ), entonces la topología indiscreta es ({emptyset, {a, b}}).
Si ( X = {a, b} ), entonces la topología indiscreta es ({emptyset, {a, b}}).

Convergencia y continuidad

En la topología, a diferencia de los espacios métricos, la convergencia y la continuidad se definen sin una noción de distancia. Se dice que una secuencia converge a un límite si, para cualquier vecindario de ese límite, hay un punto en la secuencia donde todos los puntos subsecuentes se encuentran dentro del vecindario.

La continuidad de una función ( f: X to Y ) entre espacios topológicos se define como la pre-imagen de cada conjunto abierto en ( Y ) es abierta en ( X ).

Aplicaciones y estudios posteriores

La topología tiene muchas aplicaciones interesantes más allá de las matemáticas puras. Por ejemplo, juega un papel importante en:

  • Física: Especialmente en los campos de la relatividad general y la teoría cuántica de campos, la topología proporciona ideas sobre la forma y la conectividad del universo.
  • Análisis de datos: A través de técnicas como el análisis topológico de datos (TDA), que puede extraer información significativa de conjuntos de datos complejos.
  • Robótica: En problemas de planificación de rutas, entender la conectividad del espacio de configuración puede ayudar a desarrollar algoritmos para la navegación.

Como campo, la topología sigue siendo un área de investigación activa, con muchos subcampos como la topología algebraica, la topología diferencial y la topología geométrica, cada una de las cuales explora diferentes aspectos y aplicaciones.


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