微分トポロジー

微分トポロジーは、滑らかな形状や幾何学的構造を扱う数学の一分野です。微分トポロジーの中心には、微分可能多様体上の微分可能関数の研究が含まれます。この概念をよりよく理解するために、定義を分解して各構成要素を注意深く調べましょう。

基本概念と基盤

微分トポロジーにおける主要な概念は、多様体の概念と、形状がどのように簡単に変換できるかに関連しています。多様体は局所的にユークリッド空間に似た空間であり、本質的には任意の小さなスケールで通常の表面座標の理解に似ています。次元の概念は多様体において重要です。例えば、線は1次元、平面は2次元などです。

微分可能多様体

微分可能多様体は、関数の導関数を一貫して計算できる多様体です。これは、これらの多様体上で滑らかな関数について話すことができ、微分や積分などの操作がよく定義されていることを意味します。

例として、球の表面を2次元多様体と考えてみましょう。この球を任意の点で詳しく見ると、それは平らな平面のように見えます。これが、多様体のユークリッド自然です。しかし、多様体であることに加えて、微分可能多様体は微分を可能にする滑らかに移行する地図とアトラスを持っていることを強調することが重要です。

接空間と導関数

空間内のどの方向に移動できるかを理解するために、接空間の概念が表現されます。多様体の任意の点での接空間は、その点から接することができるすべての可能な方向から成ります。形式的には、方向微分によって理解できます。

接ベクトル

接ベクトルは、特定の点で多様体に接するベクトルです。例えば、地球の表面（2D表面として表現される）に立っている場合、正午の影（太陽の位置による）は本質的に接ベクトルとして機能します。それは地球の表面に1点のみ触れます。

多様体上の微分可能関数

多様体間の関数は、ユークリッド空間間の微分可能関数のように振る舞う場合、微分可能と呼ばれます。紙を引っ張ったり、圧縮したり、折りたたんだりすることを想像してください。それを裂かずに変形する関数が微分可能関数です。

f: M rightarrow N を多様体である M と N の間の関数とするとき、
f は任意の点 p in M に対して、M の地図 φ : U rightarrow mathbb{R}^n と N の地図 ψ : V rightarrow mathbb{R}^m において、
マップ ψ circ f circ φ^{-1} は微分可能です。

従来のトポロジーとの違い

従来のトポロジーは、物体の任意の折り曲げを気にせずに扱う場合がありますが、微分トポロジーは滑らかさを強調します。これは、同相写像（位相空間間の一対一対応で連続な関数）を議論する際に、微分同相写像、つまり微分の逆写像を持つ微分的な一対一対応に焦点を当てていることを意味します。

微分同相写像

微分同相写像は、極めて滑らかで可逆な多様体間のマップです。用紙を滑らかに空間内でねじったり、転がしたりできることを想像してみてください。それを裂いたり、縁を合わせたりすることなく、これが微分同相写像に似ています。

f: M rightarrow N が a バイナリ、微分可能であり、その逆 f^{-1} も微分可能である場合、マップ f は微分同相写像です。