Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Topología diferencial


La topología diferencial es una rama de las matemáticas que trata con formas suaves y estructuras geométricas. En su núcleo, la topología diferencial implica el estudio de funciones diferenciables en variedades diferenciables. Para comprender mejor este concepto, desglosamos la definición y examinamos cada componente cuidadosamente.

Conceptos básicos y fundamentos

En la topología diferencial, los conceptos principales giran en torno al concepto de una variedad y cómo las formas pueden transformarse fácilmente. Una variedad es un espacio que localmente se asemeja al espacio euclidiano, lo que esencialmente significa que a cualquier escala pequeña, se asemeja a nuestra comprensión habitual de las coordenadas de la superficie. La idea de dimensión es importante en una variedad. Por ejemplo, una línea es 1-dimensional, un plano es 2-dimensional, y así sucesivamente.

Variedades diferenciables

Una variedad diferenciable es una variedad en la que existe una forma globalmente coherente de calcular derivadas de funciones. Esto significa que se puede hablar de funciones suaves en estas variedades, y que operaciones como la diferenciación y la integración están bien definidas.

Toma la superficie de una esfera como un ejemplo de una variedad 2-dimensional. Cuando miras de cerca esta esfera en cualquier punto, parece un plano plano: esta es la naturaleza euclidiana de las variedades. Sin embargo, es importante enfatizar que, más allá de ser solo variedades, las variedades diferenciables tienen cartas y atlas que transicionan suavemente, lo que permite la diferenciación.

Espacio tangente y derivada

Entender en qué direcciones podemos movernos desde un punto en el espacio se expresa en el concepto de un espacio tangente. Para una variedad, un espacio tangente en cualquier punto consiste en todas las direcciones posibles en las que uno puede pasar una tangente desde ese punto. Formalmente, esto puede entenderse utilizando derivadas direccionales.

Vector tangente

Un vector tangente es un vector que es tangente a la variedad en un punto dado. Por ejemplo, si estás de pie en la Tierra (que se representa como una superficie 2D), tu sombra al mediodía (debido a la posición del sol) actúa esencialmente como un vector tangente: toca la superficie de la Tierra en un solo punto.

Vector tangente

Funciones diferenciables en variedades

Una función entre variedades se llama diferenciable si se comporta localmente como una función diferenciable entre espacios euclidianos. Si imaginas estirar, comprimir y doblar una hoja de papel sin rasgarla, la función que mapea esa transformación es una función diferenciable.

Sea ( f: M rightarrow N ) una función donde ( M ) y ( N ) son variedades.
( f ) es diferenciable si para cada punto ( p in M ), y las cartas ( phi : U rightarrow mathbb{R}^n ) para ( M ) y ( psi : V rightarrow mathbb{R}^m ) para ( N ),
El mapa ( psi circ f circ phi^{-1} ) es diferenciable.

Diferencias con la topología tradicional

A diferencia de la topología estándar, que a menudo se ocupa de doblar y dar forma a objetos de manera arbitraria, sin importar cómo se doble, la topología diferencial enfatiza la suavidad. Esto significa que al discutir homeomorfismos (funciones continuas y uno a uno entre espacios topológicos), se enfoca en difeomorfismos, o biyecciones diferenciales con inversas diferenciales.

Difeomorfismo

Difeomorfismo es un mapa extremadamente suave y reversible entre variedades. Imagina una hoja que puedes torcer y enrollar suavemente en el espacio sin rasgarla ni unir sus bordes: esto es similar al difeomorfismo.

Un mapa ( f: M rightarrow N ) es un difeomorfismo si es binario, diferenciable, y su inversa ( f^{-1} ) también es diferenciable.

Propiedades y aplicaciones de la topología diferencial

Una propiedad importante en la topología diferencial es el concepto de invariante, que se refiere a una característica que permanece inalterada bajo transformaciones como los difeomorfismos. Por ejemplo, la característica de Euler es un invariante que puede clasificar superficies como esferas y toros.

Característica de Euler

La característica de Euler es un invariante topológico, un número que representa la forma o estructura de una variedad. Es invariante ante transformaciones suaves.

,
chi = v - e + f
,
donde ( V ) es el número de vértices, ( E ) es el número de aristas, y ( F ) es el número de caras.

Puntos críticos y teoría de Morse

La teoría de Morse es una rama de la topología diferencial que proporciona una forma de analizar la topología de una variedad estudiando funciones diferenciables y sus puntos críticos en esa variedad.

Puntos importantes

El punto crítico de una función diferenciable es donde la derivada de la función es cero.

punto crítico

Estructura de la topología diferencial

Uno de los resultados sólidos obtenidos de la topología diferencial es que mientras que muchas variedades 2-dimensionales (superficies) pueden clasificarse jerárquicamente como se describió anteriormente, las variedades 3-dimensionales son mucho más complejas y aún no están completamente clasificadas.

La Topología Diferencial no solo profundiza en la visualización de espacios abstractos, sino que también se conecta con la física, los campos de la computación y los marcos teóricos avanzados debido a su capacidad para introspectar el espacio, el tiempo y las dimensiones que forman el tejido de nuestra realidad, proporcionando un puente entre el pensamiento abstracto y los fenómenos del universo tangible.

Conclusión

En resumen, la topología diferencial proporciona un amplio camino para explorar variedades y funciones diferenciales, ayudando a entender transformaciones suaves. Las implicaciones de estas exploraciones son muy amplias, abarcando matemáticas, física, ciencias de la computación y filosofía, ya que se relacionan con el análisis de conceptos espaciales y temporales.


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