Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

Doctorado → Topología → Topología diferencial ↓


Variedades suaves


En el mundo de la topología diferencial, una "variedad suave" es un concepto fundamental que combina ideas de muchas áreas de las matemáticas, incluyendo cálculo, topología y geometría. Una variedad es un objeto geométrico que se parece a un espacio euclidiano alrededor de cada punto. Cuando decimos que una variedad es "suave", queremos decir que tiene una estructura que nos permite realizar operaciones de cálculo, como la diferenciación, de manera suave en sus puntos.

Vamos a tomar esto con calma y primero consideremos qué significa que algo se parezca localmente a un espacio euclidiano.

¿Qué es una variedad?

Una variedad es un espacio que se asemeja al espacio euclidiano de una dimensión específica en pequeña escala. Por ejemplo, considere una superficie como la superficie de la Tierra. Localmente, o si solo observas una pequeña región, parece plana, como un plano, que es el espacio euclidiano de 2 dimensiones que representamos como R 2. Sin embargo, en realidad es parte de algo mucho más grande y curvado, es decir, un globo.

Técnicamente, una variedad es un espacio topológico que es localmente euclidiano. Esto significa que cada punto tiene un vecindario que es homeomorfo (es decir, topológicamente idéntico) a un conjunto abierto en R n. Dependiendo de cuál sea la dimensión n, tenemos una 1-variedad, como un círculo; una 2-variedad, como la superficie de una esfera; etc.

Cartas y atlas

Para definir formalmente las variedades, los matemáticos utilizan los conceptos de "carta" y "atlas".

  • Carta: Una carta en una variedad es un par (U, φ) donde U es un subconjunto abierto de la variedad, y φ (phi) es un homeomorfismo de U a un subconjunto abierto de R n.
  • Atlas: Una colección de cartas que cubre toda la variedad. Esto significa que cada punto de la variedad está en el dominio de al menos una carta del atlas.

El concepto de un atlas es similar al uso de múltiples mapas para cubrir un área amplia, como una ciudad. Cada mapa cubre una parte diferente, al igual que cada carta en un atlas cubre una parte de una variedad.

Suavización

La condición de suavidad en las variedades trata sobre cómo estas cartas se transforman o se superponen entre sí. Al pasar de una carta a otra, el cambio de coordenadas debe ser suave, infinitamente diferenciable. Tales transformaciones están caracterizadas por difeomorfismos.

Difeomorfismo: Una función entre variedades suaves que es suave, uno a uno, sobreyectiva y tiene un inverso suave.

El requerimiento de difusividad para cambios en coordenadas asegura que no haya "saltos" o "grietas" en la variedad, manteniendo una estructura global continua.

Ejemplos de variedades suaves

Círculo

Considere la variedad suave más sencilla: una esfera de 1 dimensión, también llamada círculo. Aquí hay una representación del círculo:

    x 2 + y 2 = 1
x 2 + y 2 = 1

Esfera

Una esfera bidimensional, o simplemente esfera, es otro ejemplo:

    x 2 + y 2 + z 2 = 1
x 2 + y 2 + z 2 = 1

Localmente, una esfera se parece a un plano, convirtiéndola en una 2-variedad. Globalmente, es una superficie cerrada, compacta y sin bordes.

Toro

El toro, o forma de rosquilla, es un ejemplo clásico de una variedad que es fácil de entender visualmente:

A diferencia de un círculo o esfera que no tienen agujeros, un toro tiene un agujero:

Espacio tangente

En una variedad suave, como una superficie curva, hay una noción de un plano tangente o espacio tangente en cada punto. El espacio tangente consiste en los vectores tangentes en un punto y proporciona una aproximación lineal a la variedad alrededor de ese punto.

Piense en cómo una línea tangente a una curva toca solo un punto en la curva. Del mismo modo, el espacio tangente tocará solo un punto en la variedad.

Ejemplos y conceptos más complejos

Cinta de Möbius

Considere la cinta de Möbius, que es una superficie no orientable, con solo un lado y un componente de borde.

Representar la cinta de Möbius matemáticamente requiere conceptos más avanzados, pero sirve como una importante variedad en una variedad de aplicaciones.

Conjetura de Poincaré y flujo de Ricci

La conjetura de Poincaré, que fue probada de manera famosa a principios del siglo XXI, trata sobre variedades y muestra la importancia de comprender estas estructuras en profundidad. La solución implica entender la topología de 3-variedades y utiliza métodos como el Flujo de Ricci para clasificar espacios de 3 dimensiones, un proceso similar a "aplanar" una variedad.

Aplicaciones de las variedades suaves

Las aplicaciones de las variedades suaves se extienden más allá de las matemáticas hacia campos como la física, la ingeniería y la informática. Por ejemplo:

  • En física, las variedades suaves forman la base de la relatividad general, donde el espacio-tiempo se modela como una variedad suave de 4 dimensiones.
  • En robótica, el espacio de configuración de un robot es una variedad que representa las posiciones y orientaciones posibles.
  • En gráficos por computadora, representar superficies realistas implica comprender las propiedades locales y globales de estructuras como variedades.

Representación matemática

Mathematica u otros paquetes computacionales pueden usar variedades definidas mediante ecuaciones paramétricas o ecuaciones diferenciales para automatizar ciertos cálculos o modelar sistemas del mundo real:

    f(x, y) = z (dichas funciones suaves crean conjuntos de nivel que son variedades)
f(x, y) = z (dichas funciones suaves crean conjuntos de nivel que son variedades)

Estas representaciones muestran cómo las funciones definen la estructura y propiedades de suavidad de las variedades y ayudan a avanzar en áreas donde estos conceptos son totalmente aplicables.

Conclusión

En resumen, las variedades suaves son abstracciones prácticas que ayudan a encapsular y generalizar la idea de superficies o geometrías más complejas. Al acomodar una estructura más amplia mientras se mantiene la simplicidad local del espacio euclidiano, permiten a los matemáticos y científicos explorar las complejidades de varios campos con mayor flexibilidad y rigor.

A medida que avances en tu comprensión de las variedades suaves, recuerda que no son solo un concepto teórico, sino una puerta de entrada a muchas aplicaciones prácticas y teóricas que abarcan las matemáticas modernas y más allá.


Doctorado → 3.3.1


U
username
0%
completado en Doctorado

← Anterior (3.3)
Topología diferencial
Siguiente (3.3.2) →
Espacio tangente

Comentarios 



Variedades suaves

https://www.buddymath.com/phd/3.3.1?bmal=es