代数拓扑
代数拓扑是数学的一个分支，利用抽象代数的工具来研究拓扑空间。其主要目标是找到代数不变量，从而在同胚意义上分类拓扑空间，尽管更通常是同伦在等价意义上进行分类。这一数学领域结合了拓扑学和代数学的技术，以研究形状和空间的性质。
为了理解代数拓扑，掌握一些基本的拓扑学概念是有用的。 拓扑空间 是一个点集，每个点都与一个邻域系统相关联，这有助于定义连续性和收敛性等概念。例如，二维平面和三维球体就是简单的拓扑空间例子。
基本概念
开集与拓扑空间
在拓扑学中，一个集合是开集的直观理解是它不包含其边界。例如，实数线上的开区间就是开集的例子。这一概念可以推广到任何拓扑空间。
一个拓扑空间是一个集合 X 与一组开子集 T 组成的集合，它满足以下条件：
1. 空集和X本身都在T中 2.T中任意成员的任意并集也是T的成员 3.T中任意有限个成员的交集也是T的成员
连续性工作
拓扑空间之间的函数如果每个开集的原像是开集则被认为是连续的。在拓扑学中，连续性推广了微积分中连续函数的概念。
同胚
同胚是在拓扑空间之间具有连续逆函数的连续函数。如果两个拓扑空间之间存在同胚，则这些空间被认为在拓扑上是等价的。例如，咖啡杯和甜甜圈在拓扑学中被认为是相同的，因为可以在不剪切或粘贴的情况下将一个变换成另一个。
代数拓扑的基本概念
同伦
如果一个连续函数可以“连续变形”成另一个，则从一个拓扑空间到另一个拓扑空间的两个连续函数称为同伦函数。更正式的定义是存在一个连续映射
H: X × [0,1] → Y 使得 H(x,0) = f(x) 和 H(x,1) = g(x) 对所有 x ∈ X 成立。同伦的概念构成了同伦等价定义的基础。
同伦等价
如果存在连续映射，则两个空间 X 和 Y 在同构意义上是等价的
f: X → Y和g: Y → X
使得 g ° f 在 X 上同构于恒等映射，而 f ° g 在 Y 上同构于恒等映射
基本群
基本群，表示为 π 1 (X) ，是基于空间 X 中一个点的环路等价类的群，群运算是路径的复合。这个群提供了关于空间形状的信息。例如，它可以显示空间是否简单连通，这意味着它没有“孔”。
使用基本群的例子
考虑一个圆 S 1 其基本群同构于整数 ℤ ，因为绕圆一圈可以通过绕圈数来描述。
代数拓扑的应用
类群映射
类群映射源于对曲面的研究，可为多流形的拓扑结构和几何结构提供宝贵的见解。它们可以用来研究复杂的几何结构及其对称性。
Morse理论
Morse理论是研究流形拓扑，分析其光滑函数的数学分支。代数拓扑技术帮助识别临界点并理解它们对整体结构的贡献。
结理论
结理论研究在三维空间中嵌入圆。代数拓扑提供的工具，如基本群，用于分类和区分结。
视觉示例：连续变形
上述示例显示了从圆到八字形再返回的连续变换（同伦）。这是理解同伦概念的直观可视化方式。
一致性
同调概论
虽然基本群是强大的工具，但有时直接使用过于复杂。同调理论通过与空间关联一系列阿贝尔群或模来简化空间的研究。
简单同调
使用单纯复形定义的单纯同调，会将空间分解为点、线段、三角形及更高维等价集合。以下是简单的例子：
上面的三角形是2-单纯形的基本表示。通过将图形分解为这样的单纯形，可以定义边界算子，并计算同调群。
Betti数
Betti数是一个整数，表示不将曲面分割成两个部分的最大切割数。 n 次 Betti数 b n 计算曲面中n维孔数。
例如，在环面（甜甜圈形状）中：
b 0 = 1 （一个连通分支）， b 1 = 2 （两个一维孔，甜甜圈的核心和周界）， b 2 = 1 （一个二维零件）。
同调群的例子
考虑一个圆 S 1 这个圆具有以下同调群：
H0 ( S1 )=ℤ，表示一个单一连接组件。 H 1 ( S 1 ) = ℤ表示环绕的环路。 H n (S 1 ) = 0，对于 n > 1，因为没有更高维的孔。
上同调
上同调是一种从同调演变而来的理论，其中构建理论过程中某些箭头被逆转。这为区分拓扑空间提供了强大工具。
杯积
杯积是上同调理论中的一种运算，允许结合不同维度的截面。这个运算给出上同调环，往往比对称群单独提供更复杂的不变量。
微分形式
在微分几何中，使用微分形式定义光滑流形的上同调。这个方法允许将代数拓扑应用于微积分领域。
Borsuk–Ulam定理及驻点
Borsuk–Ulam定理说明从球体到平面的任意连续函数，至少有一个对极点对被映射到同一个点。代数拓扑提供了证明此类不动点定理的工具，这些定理在包括经济学和物理学在内的多个领域中都有应用。
代数拓扑提供了丰富的深度，成为抽象代数和经典拓扑的桥梁。这个领域内几何、代数和分析的相互作用，不仅具有广泛的理论影响，而且在数学学科及其各个领域外部也有实用应用。
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