Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

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Topologia algébrica


A topologia algébrica é um ramo da matemática que utiliza ferramentas da álgebra abstrata para estudar espaços topológicos. Seu principal objetivo é encontrar invariantes algébricos que classifiquem espaços topológicos até homeomorfismo, embora, mais usualmente, a homotopia seja classificada até equivalência. Esta área da matemática combina técnicas tanto da topologia quanto da álgebra para investigar as propriedades das formas e espaços.

Para entender a topologia algébrica, é útil estar familiarizado com alguns conceitos básicos da topologia. Um espaço topológico é um conjunto de pontos, cada um associado a um sistema de vizinhança, que ajuda a definir continuidade e convergência, entre outros conceitos. Por exemplo, um plano bidimensional e uma esfera tridimensional são exemplos simples de espaços topológicos.

Conceitos básicos

Conjuntos abertos e espaços topológicos

Na topologia, um conjunto é aberto se, intuitivamente, não contém sua fronteira. Por exemplo, um intervalo aberto na linha real é um exemplo de conjunto aberto. Este conceito pode ser generalizado para qualquer espaço topológico.

Um espaço topológico é um conjunto X junto com uma coleção de subconjuntos abertos T tal que:

1. O conjunto vazio e o próprio X estão em T
2. Qualquer união arbitrária de membros de T também é um membro de T
3. A interseção de qualquer número finito de membros de T também é um membro de T

Trabalho contínuo

Uma função entre espaços topológicos é considerada contínua se a pré-imagem de cada conjunto aberto é aberta. A continuidade em topologia generaliza a ideia de uma função contínua no cálculo.

Homeomorfismos

Um homeomorfismo é uma função contínua entre espaços topológicos que possui uma função inversa contínua. Se existe um homeomorfismo entre dois espaços topológicos, os espaços são considerados topologicamente equivalentes. Por exemplo, uma xícara de café e uma rosquinha são consideradas iguais na topologia porque uma pode ser transformada na outra sem cortar ou colar.

Conceitos fundamentais da topologia algébrica

Homotopia

Duas funções contínuas de um espaço topológico para outro são chamadas homotópicas se uma pode ser "deformada continuamente" na outra. Mais formalmente, existe um mapa contínuo

H: X × [0,1] → Y

tal que H(x,0) = f(x) e H(x,1) = g(x) para todo x ∈ X O conceito de homotopia forma a base da definição de equivalência homotópica.

Equivalência homotópica

Dois espaços X e Y são isotopicamente equivalentes se existirem mapas contínuos

f: X → Y e g: Y → X

tais que g ° f é isotópico ao mapa identidade em X e f ° g é isotópico ao mapa identidade em Y

Grupo fundamental

O grupo fundamental, denotado por π 1 (X), é o grupo de classes de equivalência de laços baseados em um ponto em um espaço X, com a operação de grupo sendo a composição de caminhos. Este grupo fornece informações sobre a forma de um espaço. Por exemplo, ele pode mostrar se um espaço é simplesmente conexo, significando que não possui "buracos".

Exemplo usando o grupo fundamental

Considere um círculo S 1. Seu grupo fundamental é isomorfo aos inteiros ℤ, já que um laço ao redor do círculo pode ser caracterizado pelo número de rotações ao redor dele.

Aplicações da topologia algébrica

Mapeamento de grupos de classe

Os grupos de classe de mapeamento surgem do estudo de superfícies e fornecem insights valiosos tanto na estrutura topológica quanto geométrica de variedades. Eles podem ser usados para investigar estruturas geométricas complexas e suas simetrias.

Teoria de Morse

A teoria de Morse é um ramo da matemática que analisa a topologia de uma variedade estudando funções suaves nessa variedade. Técnicas de topologia algébrica ajudam a identificar pontos críticos e entender como eles contribuem para a estrutura geral.

Teoria dos nós

A teoria dos nós estuda as inserções de círculos em espaços tridimensionais. A topologia algébrica fornece ferramentas, como o grupo fundamental, para classificar e distinguir nós.

Exemplo visual: distorção contínua

O exemplo acima mostra uma transformação contínua (homotopia) de um círculo para um oito e de volta. Esta é uma visualização intuitiva para entender conceitos de homotopia.

Conformidade

Introdução à homologia

Enquanto o grupo fundamental é uma ferramenta poderosa, às vezes é muito complicado trabalhar diretamente com ele. A teoria da homologia simplifica o estudo de um espaço associando a ele uma série de grupos abelianos ou módulos.

Homologia simples

A homologia simplicial é definida usando complexos simpliciais, que decompõem espaços em coleções de pontos, segmentos de linha, triângulos e equivalências de dimensões superiores. Aqui está um exemplo simples:

O triângulo acima é uma representação básica do 2-símbolo. Decompondo uma figura em tal símbolo, podemos definir o operador de fronteira e calcular grupos de homologia.

Números de Betti

O número de Betti é um inteiro que nos diz o número máximo de cortes que podem ser feitos sem dividir a superfície em duas peças. n th número de Betti b n conta o número de buracos n-dimensionais na superfície.

Por exemplo, em um toro (forma de rosca):

b 0 = 1 (um componente conectado),
b 1 = 2 (dois buracos 1-dimensionais, o núcleo e o perímetro da rosca),
b 2 = 1 (um zero 2-dimensional).

Exemplo de grupos de homologia

Considere um círculo S 1. Este círculo possui os seguintes grupos de homologia:

H0 (S1)=ℤ, que representa um único componente conectado.
H 1 (S 1) = ℤ representa o laço ao redor.
H n (S 1) = 0, para n > 1, já que não há buracos de dimensões superiores.

Cohomologia

A cohomologia é uma teoria que evoluiu da homologia, na qual algumas das setas na construção da teoria foram invertidas. Isso fornece uma ferramenta poderosa para diferenciar espaços topológicos.

Produtos de Taça

O produto de taça é uma operação na teoria da cohomologia que permite combinar seções de diferentes dimensões. Esta operação dá anéis de cohomologia, que frequentemente proporcionam invariantes mais sofisticados do que grupos de simetria isoladamente.

Forma diferencial

Na geometria diferencial, formas diferenciais são usadas para definir cohomologia para variedades suaves. Essa abordagem permite aplicar a topologia algébrica ao campo do cálculo.

Teorema de Borsuk–Ulam e pontos estacionários

O teorema de Borsuk–Ulam afirma que qualquer função contínua da esfera para o plano resulta em pelo menos um par de pontos antipodais sendo mapeados para o mesmo ponto. A topologia algébrica fornece as ferramentas para provar tais teoremas de ponto fixo, que têm aplicações em uma ampla variedade de campos, incluindo economia e física.

A topologia algébrica oferece profundidade e riqueza substanciais, servindo como uma ponte entre a álgebra abstrata e a topologia clássica. A interação entre geometria, álgebra e análise dentro deste campo fornece tanto amplas implicações teóricas quanto aplicações práticas em várias disciplinas matemáticas e além.


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