बीजगणितीय समिष्टिप्ररूप

बीजगणितीय समिष्टिप्ररूप गणित की एक शाखा है जो समिष्ठिक क्षेत्रों का अध्ययन करने के लिए निराकार बीजगणित के उपकरणों का उपयोग करती है। इसका प्राथमिक लक्ष्य समिष्यिक क्षेत्रों का समानतामापी तक वर्गीकरण करने वाले बीजगणितीय निरूपक खोजना है, हालांकि अधिक सामान्यतः होमोटॉपी समानता तक वर्गीकरण करती है। गणित का यह क्षेत्र आकृतियों और क्षेत्रों के गुणों की जांच करने के लिए समिष्टिप्ररूप और बीजगणित दोनों से तकनीकों का मेल करता है।

बीजगणितीय समिष्टिप्ररूप को समझने के लिए, समिष्टिप्ररूप के कुछ मूलभूत अवधारणाओं से परिचित होना उपयोगी है। एक समिष्टिक क्षेत्र बिंदु का एक समुच्चय होता है, जिनमें से प्रत्येक का एक पड़ोस प्रणाली से संबंध होता है, जो सततता और संमिलन को परिभाषित करने में सहायता करता है, अन्य अवधारणाओं के साथ। उदाहरण के लिए, एक द्विविमीय समतल और एक त्रिविमीय गोला समिष्टिप्ररूप के सरल उदाहरण हैं।

मूलभूत अवधारणाएं

खुला समुच्चय और समिष्टिप्ररूप

समिष्टिप्ररूप में, एक समुच्चय खुला होता है यदि, प्रतीकात्मक रूप से, वह अपनी सीमा को शामिल नहीं करता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा पर एक खुला अंतराल एक खुला समुच्चय का एक उदाहरण है। इस अवधारणा को किसी भी समिष्टिक क्षेत्र पर सामान्यीकृत किया जा सकता है।

एक समिष्टिक क्षेत्र एक समुच्चय X होता है जो खुली उपसमुच्चयों T के एक संग्रह के साथ होता है जैसे कि:

1. रिक्त समुच्चय और X स्वयं T में होते हैं
2. T के सदस्यों के किसी भी मनमानी संयोग T का सदस्य भी होता है
3. T के सीमित संख्या के सदस्यों का संघटन भी T का सदस्य होता है

सतत कार्य

समिष्टिक क्षेत्रों के बीच एक कार्य सतत माना जाता है यदि प्रत्येक खुले समुच्चय की पूर्व-प्रतिमा खुली होती है। समिष्टिप्ररूप में सततता कलन में सतत कार्य की अवधारणा को सामान्यीकृत करती है।

समानतामापी

एक समानतामापी एक समिष्टिक क्षेत्र के बीच सतत कार्य होता है जो सतत प्रत्युत्क्रिया कार्य होता है। यदि समानतामापी दो समिष्टिक क्षेत्रों के बीच अस्तित्व में है, तो क्षेत्रों को समिष्टिप्ररूप से समरूप माना जाता है। उदाहरण के लिए, एक कॉफी मग और एक डोनट को समिष्टिप्ररूप में समान माना जाता है क्योंकि प्रत्येक को बिना काटे या चिपकाए दूसरे में रूपांतरित किया जा सकता है।

बीजगणितीय समिष्टिप्ररूप की मूलभूत अवधारणाएं

समरूपता

दो सतत कार्यों को एक समिष्टिक क्षेत्र से दूसरे में समरूपी कहा जाता है यदि एक को दूसरे में "सतत रूप से विकृत" किया जा सकता है। अधिक औपचारिक रूप से, एक सतत मानचित्र मौजूद होता है

H: X × [0,1] → Y

जैसे कि H(x,0) = f(x) और H(x,1) = g(x) सभी x ∈ X के लिए होता है। समरूपता की अवधारणा समरूपता समकक्षता की परिभाषा का आधार बनाती है।

समरूपी समकक्षता

दो क्षेत्र X और Y इसोमॉर्फिक रूप से समकक्ष होते हैं यदि सतत मानचित्र मौजूद होते हैं

f: X → Y और g: Y → X

जैसे कि g ° f समकक्ष मानचित्र X की एकता मानचित्र के समरूप होता है और f ° g समकक्ष मानचित्र Y की एकता मानचित्र के समरूप होता है।

मूलभूत समूह

मूलभूत समूह, जो π 1 (X) द्वारा संकेतित है, लूप आधारित समकक्ष वर्गों का समूह है जो एक बिंदु X में होता है, जिसमें समूह की क्रिया पथों की रचना होती है। यह समूह एक क्षेत्र की आकृति के बारे में जानकारी प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, यह दर्शा सकता है कि क्षेत्र सरलता से संयोजित है या नहीं, यानी इसमें "छेद" नहीं होते।

मूलभूत समूह का उदाहरण

एक वृत्त S 1 को विचार करें। इसका मूलभूत समूह पूर्णांकों के अनुरूप होता है ℤ, क्योंकि वृत्त के चारों ओर एक लूप को उस पर घुमाव की संख्या द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

बीजगणितीय समिष्टिप्ररूप के अनुप्रयोग

कक्षा समूह का मानचित्रण

कक्षा समूह, सतहों के अध्ययन से उत्पन्न होते हैं और समिष्ठिक और ज्यामितीय संरचना मेंफोल्ड्स में मूल्यवान अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं। ये जटिल ज्यामितीय संरचनाओं और उनके समरूपता की जांच करने के लिए उपयोग किए जा सकते हैं।

मोर्स सिद्धांत

मोर्स सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो एक मैनिफोल्ड के सम्पूर्ण संरचना को चिकनी कार्यों का अध्ययन करके विश्लेषण करती है। बीजगणितीय समिष्टिप्ररूप की तकनीकें महत्वपूर्ण बिंदुओं की पहचान करने और यह समझने में सहायता करती हैं कि वे सम्पूर्ण संरचना में कैसे योगदान करते हैं।

गांठ सिद्धांत

गांठ सिद्धांत 3-आयामी क्षेत्रों में वृत्तों के अंवेषण का अध्ययन करता है। बीजगणितीय समिष्टिप्ररूप उपकरण प्रदान करता है जैसे कि मूलभूत समूह, गांठों को वर्गीकृत और भिन्न करने के लिए।

दृश्य उदाहरण: सतत विकृति

उपर्युक्त उदाहरण एक वृत्त से एक आठ के आंकड़े में और वापस सतत रूपांतर (समरूपता) को दिखाता है। यह समरूपता अवधारणाओं को समझने के लिए एक सहज दृश्यात्मकता प्रदान करता है।

अनुरूपता

होमोलॉजी की पारिचय

हालांकि मूलभूत समूह एक शक्तिशाली उपकरण है, यह कभी कभी सीधे काम करने के लिए बहुत जटिल होता है। होमोलॉजी सिद्धांत किसी क्षेत्र के अध्ययन को सरल करता है इसका उद्देश्य एक श्रृंखला ऊपरी समुच्चयों या मॉड्यूल्स को उससे जोड़ना होता है।

साधारण होमोलॉजी

सरलिदृश्य होमोलॉजी को सिंप्लिशियल कॉम्प्लेक्स का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, जो आकृतियों को बिंदुओं, रेखा खंडों, त्रिकोणों, और उच्च आयामी समकक्षताओं में तोड़ते हैं। यहाँ एक साधारण उदाहरण है:

उपरोक्त त्रिकोण 2-सिंप्लेक्स का एक मूलभूत प्रतिनिधित्व है। एक आकृति को इस प्रकार के सिंप्लेक्स में तोड़कर, हम सीमा निदेशक को परिभाषित कर सकते हैं और होमोलॉजी समूहों की गणना कर सकते हैं।

बेट्टी संख्या

बेट्टी संख्या एक पूर्णांक है जो हमें अधिकतम कटौती की संख्या बताता है जो बिना सतह को दो भागों में विभाजित किए किया जा सकता है। ^{n वीं} बेट्टी संख्या _{b n} सतह में n-आयामी छिद्रों की संख्या की गणना करती है।

उदाहरण के लिए, एक तोरस (डोनट आकार) में:

b 0 = 1 (एक संयोजित घटक),
b 1 = 2 (दो 1-आयामी छिद्र, डोनट के कोर और परिधि),
b 2 = 1 (दो आयामी छिद्र शून्य)।

होमोलॉजी समूहों का उदाहरण

एक वृत्त S 1 को विचार करें। इस वृत्त के पास निम्नलिखित होमोलॉजी समूह हैं:

H0 ( S1 )=ℤ, जो एकल संयोजित घटक का प्रतिनिधित्व करता है।
H 1 ( S 1 ) = ℤ वृत्त के चारों ओर लूप का प्रतिनिधित्व करता है।
H n (S 1 ) = 0, n > 1 के लिए, क्योंकि कोई उच्च आयामी छिद्र नहीं हैं।

संकोमल

संकोमल एक सिद्धांत है जो होमोलॉजी से विकसित हुआ है, जिसमें कुछ सिद्धांत के निर्माण में कुछ तीर उलटे होते हैं। यह समिष्टिक क्षेत्रों को भिन्न करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है।

कप उत्पाद

कप उत्पाद एक संकोमल सिद्धांत की क्रिया है जो विभिन्न आयामों के वर्गों को संयोजित करने की अनुमति देता है। यह क्रिया संकोमल वलयों को देती है, जो अक्सर अकेले समरुप समूह से अधिक जटिल निरूपक प्रदान करती है।

अंतर रूप

अंतर ज्यामिति में, अंतर रूपों का उपयोग चिकनी मनिफोल्ड्स के लिए होमोलॉजी को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।Dieser Ansatz ermöglicht es der algebraischen Topologie, auf das Gebiet der Analysis angewendet zu werden.

बोरसुक–उलम प्रमेय और स्थिर बिंदु

बोरसुक–उलम प्रमेय कहता है कि किसी भी सतत कार्य के लिए गोलक से तल में कम से कम एक जोड़ा विपरीत बिंदु उस एक ही बिंदु पर मानचित्रित होते हैं। बीजगणितीय समिष्टिप्ररूप ऐसे स्थिर बिंदु प्रमेयों के प्रमाण के लिए उपकरण प्रदान करता है, जिनका अर्थव्यवस्था और भौतिकी जैसे विभिन्न क्षेत्रों में अनुप्रयोग होता है।

बीजगणितीय समिष्टिप्ररूप बड़ी गहराई और समृद्धि प्रदान करता है, निराकार बीजगणित और पारंपरिक समिष्टिप्ररूप के बीच पुल के रूप में कार्य करता है। इस क्षेत्र में ज्यामिति, बीजगणित, और विश्लेषण के बीच अंतःक्रिया व्यापक सैद्धांतिक निहितार्थ और गणितीय अनुशासन और उससे परे व्यावहारिक अनुप्रयोग दोनों प्रदान करती है।

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