Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Topología algebraica


La topología algebraica es una rama de las matemáticas que utiliza herramientas del álgebra abstracta para estudiar los espacios topológicos. Su principal objetivo es encontrar invariantes algebraicos que clasifiquen los espacios topológicos hasta el homeomorfismo, aunque más comúnmente se clasifica la homotopía hasta la equivalencia. Esta área de las matemáticas combina técnicas de la topología y el álgebra para investigar las propiedades de las formas y espacios.

Para entender la topología algebraica, es útil estar familiarizado con algunos conceptos básicos de la topología. Un espacio topológico es un conjunto de puntos, cada uno de los cuales está asociado con un sistema de vecindad, lo que ayuda a definir la continuidad y la convergencia, entre otros conceptos. Por ejemplo, un plano bidimensional y una esfera tridimensional son ejemplos simples de espacios topológicos.

Conceptos básicos

Conjuntos abiertos y espacios topológicos

En topología, un conjunto es abierto si, intuitivamente, no contiene su frontera. Por ejemplo, un intervalo abierto en la recta real es un ejemplo de conjunto abierto. Este concepto puede generalizarse a cualquier espacio topológico.

Un espacio topológico es un conjunto X junto con una colección de subconjuntos abiertos T tal que:

1. El conjunto vacío y X mismo están en T
2. Cualquier unión arbitraria de miembros de T es también un miembro de T
3. La intersección de cualquier número finito de miembros de T es también un miembro de T

Trabajo continuo

Una función entre espacios topológicos se considera continua si la preimagen de cada conjunto abierto es abierta. La continuidad en topología generaliza la idea de una función continua en cálculo.

Homeomorfismos

Un homeomorfismo es una función continua entre espacios topológicos que tiene una función inversa continua. Si existe un homeomorfismo entre dos espacios topológicos, los espacios se consideran topológicamente equivalentes. Por ejemplo, una taza de café y un donut se consideran lo mismo en topología porque cada uno puede transformarse en el otro sin cortar ni pegar.

Conceptos fundamentales de la topología algebraica

Homotopía

Dos funciones continuas de un espacio topológico a otro se llaman homotópicas si una puede ser "deformada continuamente" en la otra. Más formalmente, existe una aplicación continua

H: X × [0,1] → Y

tal que H(x,0) = f(x) y H(x,1) = g(x) para todo x ∈ X El concepto de homotopía forma la base de la definición de equivalencia homotópica.

Equivalencia homotópica

Dos espacios X y Y son isomórficamente equivalentes si existen mapas continuos

f: X → Y y g: Y → X

tal que g ° f es isotópica al mapa identidad en X y f ° g es isotópica al mapa identidad en Y

Grupo fundamental

El grupo fundamental, denotado π 1 (X), es el grupo de clases de equivalencia de bucles basados en un punto en un espacio X, con la operación de grupo siendo la composición de caminos. Este grupo proporciona información sobre la forma de un espacio. Por ejemplo, puede mostrar si un espacio es simplemente conectado, lo que significa que no tiene "agujeros".

Ejemplo usando el grupo fundamental

Considera un círculo S 1. Su grupo fundamental es isomórfico a los enteros ℤ, ya que un bucle alrededor del círculo puede caracterizarse por el número de rotaciones alrededor de él.

Aplicaciones de la topología algebraica

Mapeo de grupos de clases

Los grupos de clases de mapeo surgen del estudio de superficies y proporcionan valiosos puntos de vista tanto en la estructura topológica como geométrica de las variedades. Pueden usarse para investigar estructuras geométricas complejas y sus simetrías.

Teoría de Morse

La teoría de Morse es una rama de las matemáticas que analiza la topología de una variedad estudiando funciones suaves en esa variedad. Las técnicas de la topología algebraica ayudan a identificar puntos críticos y a comprender cómo contribuyen a la estructura general.

Teoría de nudos

La teoría de nudos estudia las incrustaciones de círculos en espacios tridimensionales. La topología algebraica proporciona herramientas, como el grupo fundamental, para clasificar y distinguir nudos.

Ejemplo visual: distorsión continua

El ejemplo anterior muestra una transformación continua (homotopía) de un círculo a un ocho y de vuelta. Esta es una visualización intuitiva para entender los conceptos de homotopía.

Conformidad

Introducción a la homología

Aunque el grupo fundamental es una herramienta poderosa, a veces es demasiado complicado trabajar directamente con él. La teoría de la homología simplifica el estudio de un espacio al asociarle una serie de grupos abelianos o módulos.

Homología simple

La homología simplicial se define usando complejos simpliciales, que descomponen los espacios en colecciones de puntos, segmentos de línea, triángulos y equivalencias de mayor dimensión. Aquí hay un ejemplo simple:

El triángulo anterior es una representación básica del 2-síplex. Al descomponer una figura en dicho síplex, podemos definir el operador de frontera y calcular grupos de homología.

Números de Betti

El número de Betti es un número entero que nos dice el número máximo de cortes que pueden hacerse sin dividir la superficie en dos piezas. El n th número de Betti b n cuenta el número de agujeros n-dimensionales en la superficie.

Por ejemplo, en un toro (forma de donut):

b 0 = 1 (un componente conectado),
b 1 = 2 (dos agujeros de 1 dimensión, el núcleo y el perímetro del donut),
b 2 = 1 (un cero de 2 dimensiones).

Ejemplo de grupos de homología

Considera un círculo S 1. Este círculo tiene los siguientes grupos de homología:

H0 ( S1 )=ℤ, lo que representa un solo componente conectado.
H 1 ( S 1 ) = ℤ representa el bucle alrededor.
H n (S 1 ) = 0, para n > 1, ya que no hay agujeros de mayor dimensión.

Cohomología

La cohomología es una teoría que evolucionó de la homología, en la cual algunas de las flechas en la construcción de la teoría han sido invertidas. Esto proporciona una herramienta poderosa para diferenciar espacios topológicos.

Productos en copa

El producto en copa es una operación en la teoría de la cohomología que permite combinar secciones de diferentes dimensiones. Esta operación da anillos de cohomología, que a menudo proporcionan invariantes más sofisticados que los grupos de simetría por sí solos.

Formas diferenciales

En geometría diferencial, las formas diferenciales se usan para definir cohomología para variedades suaves. Este enfoque permite que la topología algebraica se aplique al campo del cálculo.

Teorema de Borsuk–Ulam y puntos estacionarios

El teorema de Borsuk–Ulam establece que cualquier función continua de la esfera al plano resulta en al menos un par de puntos antípodas siendo mapeados al mismo punto. La topología algebraica proporciona las herramientas para demostrar tales teoremas de puntos fijos, que tienen aplicaciones en una amplia variedad de campos, incluyendo economía y física.

La topología algebraica ofrece una profundidad y riqueza sustancial, sirviendo como un puente entre el álgebra abstracta y la topología clásica. La interacción entre la geometría, el álgebra y el análisis dentro de este campo proporciona tanto amplias implicaciones teóricas como aplicaciones prácticas en disciplinas matemáticas y más allá.


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