Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

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Sequência exata


Na topologia algébrica e em outras áreas da matemática, as sequências exatas são um conceito fundamental que nos ajuda a entender a relação entre diferentes estruturas algébricas, tipicamente entre módulos sobre um anel ou grupos. Isso é importante para estudar as propriedades dos espaços topológicos e, portanto, as sequências exatas têm uma ampla gama de aplicações.

Compreendendo os blocos de construção

Antes de mergulhar nas sequências exatas, é importante entender o conceito de homomorfismo e os conceitos-chave de núcleo e imagem. Vamos começar com esses conceitos.

Homomorfismos

Um homomorfismo é um mapeamento que preserva a estrutura entre duas estruturas algébricas, como grupos, anéis ou módulos. Por exemplo, se f: A to B é um homomorfismo entre dois grupos, ele deve satisfazer a seguinte propriedade:

f(x * y) = f(x) * f(y)

onde * denota a operação do grupo. Para anéis, os homomorfismos devem respeitar a adição e a multiplicação.

Núcleo e imagem

O núcleo de um homomorfismo f: A to B, denotado ker(f), é o conjunto de elementos em A que mapeiam para o elemento identidade em B:

ker(f) = { a em A | f(a) = e_B }

onde e_B é o elemento identidade em B

A imagem de um homomorfismo, im(f), é o conjunto de elementos em B que são mapeados para elementos em A:

im(f) = { b em B | b = f(a) para algum a em A }

O que é a sequência exata?

Uma sequência exata é uma sequência de objetos algébricos e isomorfismos entre eles, na qual a imagem de um isomorfismo é igual ao núcleo do próximo isomorfismo. Em termos simples, a saída de uma função na sequência pode servir perfeitamente como entrada para a próxima. A sequência é geralmente representada como:

... → A_n-1 → A_n → A_n+1 → ...

A sequência é chamada exata se, em cada posição, a imagem do mapeamento anterior for a mesma que o núcleo exato do próximo:

im(φ_{n-1}) = ker(φ_n)

onde φ denota simetrias.

Tipos de sequências exatas

Sequência exata curta

Uma sequência exata curta tem a seguinte aparência:

0 → A → B → C → 0

Aqui, a sequência começa e termina com o objeto zero (como o espaço vetorial zero ou o grupo trivial). Para que essa sequência seja exata, o mapeamento A → B deve ter núcleo 0 (ou seja, ser injetivo), e o mapeamento B → C deve mapear para C (ou seja, ser sobrejetivo).

Sequência exata longa

Sequências exatas longas aparecem em contextos como homologia e cohomologia. Por exemplo, dada uma sequência exata curta de complexos de cadeias, há uma sequência exata longa induzida em homologia:

... → H_n(A) → H_n(B) → H_n(C) → H_{n-1}(A) → ...

Exemplo visual

0 F A Sim B H C 0

Esta representação SVG mostra uma sequência exata curta. A sequência começa em 0, mapeando para a coleção A, depois para B, finalmente descendo para C, e terminando de volta em 0.

Aplicações em topologia algébrica

As sequências exatas desempenham um papel importante na topologia algébrica, especialmente no estudo de teorias de homologia e cohomologia. Vamos explorar algumas aplicações típicas.

Sequência de Mayer–Vietoris

Esta sequência exata longa é uma ferramenta poderosa para calcular os isomorfismos de um espaço que pode ser decomposto em dois subespaços sobrepostos. Dado um espaço topológico X e seus subespaços U e V tais que X = U ∪ V, a sequência de Mayer–Vietoris é:

... → H_n(U ∩ V) → H_n(U) ⊕ H_n(V) → H_n(X) → H_{n-1}(U ∩ V) → ...

O Lema dos Cinco e o Lema da Cobra

O Lema dos Cinco e o Lema da Cobra são resultados importantes sobre sequências exatas, frequentemente usados em topologia algébrica e álgebra homológica.

O Lema dos Cinco ajuda a provar o isomorfismo de grupos no meio de um diagrama comutativo com linhas exatas, como:

A → B → C → D → E
↓   ↓   ↓   ↓   ↓
A' → B' → C' → D' → E'

Se os primeiros quatro mapeamentos verticais forem isomorfismos, o quinto também é um isomorfismo.

O Lema da Cobra fornece uma sequência exata longa com linhas exatas a partir de um diagrama comutativo:

0 → A → B → C → 0
0 → A' → B' → C' → 0

Isso prova a existência de uma sequência exata longa induzida conectando o núcleo e co-kernel dos mapeamentos correspondentes.

Considerações adicionais

Entender sequências exatas abre a porta para níveis de abstração mais altos na topologia algébrica e álgebra homológica. Elas nos permitem estudar estruturas algébricas complexas e obter vários resultados fascinantes.

Aprender a manipular e raciocinar com essas sequências é uma habilidade importante para um matemático trabalhando em topologia algébrica, pois elas fornecem insights sobre as "lacunas" e propriedades combinatórias de lugares em termos algébricos mais concretos.

As conexões feitas por meio de sequências exatas destacam a beleza e elegância das estruturas matemáticas. Elas demonstram como os conceitos topológicos, algébricos e geométricos se entrelaçam para formar o rico tecido da teoria matemática.

Conclusão

As sequências exatas são uma ferramenta analítica poderosa na matemática, fornecendo uma linguagem unificada para discutir as propriedades das estruturas algébricas, especialmente na topologia algébrica. Através de várias teorias e exemplos, sua aplicabilidade se estende além do teórico para cenários práticos, enriquecendo nossa compreensão das construções matemáticas e topológicas.


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