Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Cohomología


La cohomología es un concepto matemático que desempeña un papel importante en la topología algebraica, proporcionando una forma robusta de estudiar las propiedades de los espacios topológicos. Sus raíces se pueden encontrar en la noción de homología, pero ha evolucionado para abarcar un conjunto más amplio de ideas que se extiende a otras áreas de las matemáticas también. En esta charla, profundizaremos en qué es la cohomología, cómo se diferencia de la homología, y miraremos algunos ejemplos fascinantes y aplicaciones.

Introducción a la cohomología

La cohomología proporciona una forma de asociar estructuras algebraicas, como grupos o anillos, con espacios topológicos. Estas estructuras se derivan de la idea de cadenas, ciclos y bordes en un espacio. Al entender estas asociaciones, se pueden inferir propiedades de los espacios, como la conectividad, la compacidad y la dimensionalidad.

Los conceptos básicos: cadenas, ciclos y límites

Antes de aventurarse en la cohomología, es importante entender los bloques de construcción de la simetría:

  • Cadenas: Son sumas formales de simplécticos, que son los bloques de construcción básicos de los espacios topológicos. Por ejemplo, en un triángulo, los bordes y vértices pueden servir como 1-cadenas y 0-cadenas, respectivamente.
  • Ciclo: Un ciclo es una serie cuyo límite es cero. Piénsalo como un bucle cerrado en el espacio.
  • Bordes: Los bordes se refieren a los límites de una serie de dimensión superior. Por ejemplo, el borde de un triángulo bidimensional serían sus bordes unidimensionales.

Homología vs. cohomología

Mientras que la homología ve los ciclos como bordes, la cohomología invierte esta visión, enfocándose en cambio en cojuntos, cociclos y cobordes. La esencia de la cohomología se encuentra en estos conceptos:

  • Cojuntos: mapas que asignan valores algebraicos (como enteros o números reales) a series.
  • Cociclos: Cojuntos sin coborde, análogos a los ciclos en homología.
  • Colímites: coseries que "llenan" las coseries, al igual que los límites llenan los ciclos en homología.

Construcción de la cohomología

Para construir la cohomología, comenzamos con una secuencia de complejos de cojuntos. Estas secuencias asocian cadenas con grupos, definiendo finalmente el grupo de cohomología. Así es como funciona paso a paso:

1. Comienza con un espacio X y define su complejo de cadenas, que se denota usualmente de la siguiente manera:

    ... → C_{n+1}(X) → C_n(X) → C_{n-1}(X) → ...

2. Construye el complejo de cojuntos de la siguiente manera:

    ... ← Hom(C_{n+1}(X), G) ← Hom(C_n(X), G) ← Hom(C_{n-1}(X), G) ← ...

   Aquí, G es un grupo abeliano (como los enteros o los números reales).

3. Define el operador de coborde, que asigna un cojuntos a otro.

4. El n-ésimo grupo de cohomología se define como el núcleo de un operador de colímite módulo la imagen del operador de colímite anterior:

 H^n(X; G) = Ker(d^n) / Im(d^{n-1})

Ejemplo: cohomología de un círculo

Tomemos el ejemplo de una figura familiar: el círculo S^1.

La estructura del círculo es simple. En términos de cohomología, considere:

  • Para n = 0, cada punto en S^1 puede ser mapeado continuamente a un entero, dando H^0(S^1; ℤ) ≈ ℤ.
  • Para n = 1, cada bucle alrededor del círculo corresponde a un cociclo. Dado que no hay propiedades de mayor dimensión, tenemos que H^1(S^1; ℤ) ≈ ℤ.
  • Para n > 1, los grupos de cohomología superiores son cero: H^n(S^1) = 0 para n > 1.

Esto resalta una propiedad clave de la cohomología: su capacidad para capturar y distinguir características de los espacios topológicos a través de las dimensiones.

Aplicaciones de la cohomología

La cohomología tiene aplicaciones abundantes tanto dentro como fuera de la topología. Su utilidad abarca desde resolver ecuaciones en geometría algebraica hasta aplicaciones impresionantes en física teórica.

Geometría algebraica

En geometría algebraica, la cohomología ayuda a resolver ecuaciones polinómicas e investigar la geometría de las soluciones en dimensiones superiores. Por ejemplo, el teorema del punto fijo de Lefschetz utiliza la cohomología para calcular los puntos fijos de los mapas continuos.

Invarianza topológica

Uno de los principales usos de la cohomología es demostrar la invarianza topológica - demostrando que los grupos de cohomología de un espacio no cambian bajo homeomorfismos. Esto explica por qué espacios que parecen diferentes pueden tener aún las mismas propiedades subyacentes.

Física teórica

En física, especialmente en teoría de cuerdas y teoría cuántica de campos, la cohomología se usa para calcular y entender las propiedades de los campos y partículas. La cohomología de De Rham, que conecta las formas diferenciales con la topología, se utiliza para analizar ecuaciones diferenciales y simetrías en estos dominios.

Ejemplo: dualidad de Poincaré

Un resultado esencial en topología es el teorema de la dualidad de Poincaré. Muestra la relación entre la simetría y la cohomología de los duales de las variedades. En términos más simples, establece que hay un isomorfismo entre el k-ésimo grupo de simetría y el (nk)-ésimo grupo de cohomología de una variedad de n dimensiones. Por ejemplo:

Si M es una variedad cerrada orientada de dimensión n, entonces:

H_k(M) ≈ H^{nk}(M)

Esta correspondencia permite pasar de un enfoque de homología a uno de cohomología, ampliando así el conjunto de herramientas para comprender los espacios topológicos.

Explicación visual de la cohomología

Visualizar la cohomología puede mejorar en gran medida nuestro entendimiento de sus conceptos abstractos. Considere un complejo finito simple, como un triángulo con vértices, bordes y una cara. Podemos visualizar los grupos de cojuntos y los operadores de coborde de la siguiente manera:

C_0 C_1 C_2

Esta visualización puede ayudarnos a pensar en los cojuntos como mapas que mapean en los vértices (C_0), los bordes (C_1) y las caras (C_2), así como a mostrar cómo los operadores de coborde se mueven "arriba" en estas dimensiones.

El futuro de la cohomología

La cohomología sigue siendo un área vibrante de investigación, con muchos problemas sin resolver y aplicaciones potenciales. Los esfuerzos por extender las teorías de la cohomología, como las categorías derivadas y las haces deformadas, continúan descubriendo nuevas conexiones en matemáticas y física teórica.

Por lo tanto, aprender cohomología no solo es una puerta de entrada para comprender mejor la topología algebraica, sino también un paso esencial hacia el descubrimiento de teorías matemáticas modernas.


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