ホモロジー理論

数学の世界、特に位相幾何学の分野では、空間の性質とそれらがどのように相互に繋がっているかを探求します。複雑な構造を理解するために、強力なツールであるホモロジー理論を使用します。ホモロジー理論は代数的な視点から位相空間を見る方法を提供し、これらの空間の様々な「特徴」を理解することを可能にしますが、幾何学的なオブジェクトとして理解する必要はありません。

位相空間の理解

ホモロジー理論を深く学ぶ前に、位相空間が何であるかの基本的な理解が必要です。位相空間は、位相を備えた集合であり、この位相は実質的に、集合全体と空集合、およびこれらの開集合の任意の和もしくは有限の交わりを含む開集合の集まりです。

位相空間の2つの最も単純な例は、線と平面です。より抽象的には、位相空間はドーナツ形状（トーラス）や球、さらには高次元の空間などの複雑な構造を含むことができます。

単体的複体と系列

ホモロジー理論の初歩的なアイデアの1つは、複雑な空間を単体（単体の複数形）と呼ばれる単純な構成要素に分解することです。単体は任意の次元における三角形や四面体の一般化です。例えば:

0-単体は単一の点です。
1-単体は線分です。
2-単体は三角形です。
3-単体は四面体です。

どのような形も、これらの単純なピースを組み合わせることで生成されると考えられます。それはまるで、レゴの構造が個々のブロックから組み立てられるのと似ています。

チェイン複体

単体に基づいて空間を理解したら、チェイン複体と呼ばれるものを形成できます。チェイン複体は境界演算子によって結びつけられたアーベル群の系列です。ホモロジー理論の観点では、これはこれらの単体がどのように連結されているかを代数的に理解する方法です。

特定の位相空間について、各次元における単体で構成される鎖を考慮し、これらを境界写像を用いて連結することでチェイン複体を扱います。この写像は、ある次元の単体がどのように下位次元の単体を「囲む」または「導く」かを示します。

境界演算子∂_nはn次元の単体を取得し、その(n-1)次元の面の形式的な和を形成します。例えば、線分（1-単体）の境界は点のペア（0-単体）になります。

∂_1([v, w]) = [w] - [v]

この操作はこの式を尊重し、単体のエッジがどのように組み合わさってモザイク状の構造を形成するかを示しています。ホモロジー理論の役割を理解するには、これらの境界演算がゼロに収束する順序で動作することが重要です:

連続する次元からの2つの制限演算子の合成、例えば∂_n o ∂_(n+1)、は常にゼロの結果をもたらします。この性質は、これらの系列が空間内でどのように関連し重複しているかを研究することを可能にします。

視覚的な例

この三角形ABCは2-単体の視覚的な表現です。その境界∂が適用されると、AB、BC、CAのエッジが形式的に和として得られます。各エッジはA、B、Cの頂点を境界に持つことができます。

ホモロジー群

ホモロジー理論の本質は、これらの限界を見て、これらの操作が何か「非自明」なものをもたらすときを決定することにあります。この代数的な情報を得るために、ホモロジー群と呼ばれるものを使用します。

n次ホモロジー群、H_n(X)と表記される、空間Xについて、限界ではないサイクルに対する全サイクルの同等性を見つけます。基本的には、位相空間におけるn次元の「穴」を数えるものです。

これらのホモロジー群は同相によって不変です。これは、2つの空間が位相的に同一である（たとえそれらが幾何学的に異なって見えても）場合、同じホモロジー群を持つことを意味します。

ホモロジーの計算: 例

単純な位相空間: ループまたは円を考えてみましょう。そのホモロジー群を計算するには、次のように進めます:

1. 単体的複体

円を頂点とエッジに分解します。おそらく4つの頂点とそれらを結ぶ4つのエッジを持ちます。

2. チェインのインストール

次元に基づいた系列群を定義します。ここでは、円は一次元であるため、C_0（頂点）とC_1（エッジ）に焦点を当てます。

3. 境界写像

この場合、境界写像はエッジが2つの頂点をどのように結ぶかを識別します。しかし、閉じたとき、その和はゼロになり、円が空洞を囲んでいるために「高次」の次元オブジェクトを境界にできないサイクルを露出します。

4. サイクルと限界の識別

サイクル群Z_1には、円の周りを移動するようなループが含まれます。限界群B_1はゼロです。なぜなら一次元空間の中に閉じ込められた領域が存在しないからです。

5. ホモロジー群の計算

H_1(S^1) = Z_1 / B_1 = Z_1 / {0} = Z_1

これは、円の1次ホモロジー群がZであり、ループ内の一次元の「穴」が存在することを示しています。

基本対称性を超えて: 高次元

基本をマスターしたら、ホモロジー理論は高次元に移行することを可能にします。基本的な考えは同じですが、トーラス（ドーナツ形状）のような空間を調査することは複雑で魅力的です。

トーラスについては、正方形のグリッド状の表面に分解して、対称性を決定し、独立したサイクルによって識別される「水平」および「垂直」のループを明らかにします。

より複雑な空間のホモロジーはその組織に関する実用的な洞察を提供し、またデータ分析（永続ホモロジー）や理論物理学（時空の挙動の探求など）においても役立ちます。