Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Teoría de la homotopía


La teoría de la homotopía es una rama de las matemáticas que estudia los espacios y las transformaciones entre ellos, centrándose principalmente en la idea de deformar un espacio en otro. En este campo, estamos interesados en las propiedades que permanecen inalteradas incluso cuando un espacio se transforma de manera continua o se dobla pero no se desgarra. Imagina que tienes una hoja de goma; puedes doblarla y estirarla en varias formas, pero a menos que la rompas o la pegues, las propiedades fundamentales de la hoja de goma no cambian.

Conceptos básicos

Para entender la teoría de la homotopía, primero debemos entender algunos conceptos básicos:

Espacios topológicos

Un espacio topológico es un conjunto de puntos, cada uno de los cuales tiene una estructura de vecindad que define cómo los puntos están relacionados espacialmente entre sí. Formalmente, es un conjunto ( X ) que contiene una colección de subconjuntos abiertos ( tau ) que satisface lo siguiente:

1. El conjunto vacío y ( X ) mismo están en ( tau ). 
2. Cualquier unión de elementos de ( tau ) está en ( tau ). 
3. Cualquier intersección finita de elementos de ( tau ) pertenece a ( tau ).

Mapas continuos

Una función ( f: X rightarrow Y ) entre dos espacios topológicos ( X ) e ( Y ) es continua si la imagen inversa de cada conjunto abierto en ( Y ) es un conjunto abierto en ( X ). Este concepto refleja la continuidad en cálculo, donde pequeños cambios en la entrada llevan a pequeños cambios en la salida.

Homotopía

Una isomorfismo entre dos mapas continuos ( f, g: X rightarrow Y ) es una función continua ( H: X times [0, 1] rightarrow Y ) tal que:

H(x, 0) = f(x) quad text{y} quad H(x, 1) = g(x) quad text{para todo} , x in X.

Aquí, ( [0, 1] ) es el intervalo unitario, y ( H ) deforma de manera continua ( f ) en ( g ).

Visualización de la homotopía

Visualizar la homotopía puede ayudarte a entenderla mejor. Consideremos dos trayectorias en un plano. Digamos que una trayectoria, A, es una línea recta desde el punto ( (0, 0) ) hasta ( (1, 1) ). La otra trayectoria, B, es un camino más curvado desde ( (0, 0) ) hasta ( (1, 1) ). Para visualizar su homotopía, cambia gradualmente A a B.

<svg width="100" height="100"> <line x1="0" y1="100" x2="100" y2="0" stroke="black" stroke-width="2"/> <path d="M 0 100 Q 50 50, 100 0" stroke="red" fill="transparent"/> </svg>

En este ejemplo, ambos caminos se encuentran en el mismo espacio topológico. Son homotópicos porque uno puede transformarse de manera continua en el otro sin romperse ni añadir nuevos puntos.

Equivalencia de homotopía

Dos espacios topológicos ( X ) e ( Y ) son homotópicamente equivalentes si existen mapas continuos ( f: X rightarrow Y ) y ( g: Y rightarrow X ) tales que:

g circ f simeq text{id}_X quad text{y} quad f circ g simeq text{id}_Y,

donde ( simeq ) denota que los mapas son isotópicos, y (text{id}) es el mapa de identidad. Esencialmente, esto significa que estos espacios pueden deformarse entre sí, preservando su forma de manera 'flexible'.

Ejemplos de equivalencia de homotopía

Considera un disco sólido y un punto. No son homotópicamente equivalentes, porque el disco no puede comprimirse de manera continua en un punto sin rasgarlo. Sin embargo, un disco sólido y un anillo sólido sin agujero son homotópicamente equivalentes, porque puedes comprimir el anillo en un disco.

Grupo fundamental

El grupo fundamental es un concepto esencial en la teoría de la homotopía que refleja las propiedades topológicas de un espacio. Está representado por ( pi_1(X, x_0) ), donde ( X ) es un espacio topológico y ( x_0 ) es un punto base en ( X ).

El grupo fundamental contiene información sobre los bucles en el espacio: cómo pueden estirarse o contraerse. Se define como el conjunto de clases de homotopía de bucles con punto base (x_0). La operación es la composición de bucles (combinación), que satisface los axiomas de grupo.

Ejemplos básicos de grupos fundamentales

Veamos un ejemplo simple:

Círculo ( S^1 ): El grupo fundamental de un círculo es ( mathbb{Z} ), que es el grupo de enteros. Representa el número de veces que el bucle da la vuelta al círculo. Los enteros positivos indican rotaciones en sentido antihorario, cero significa ninguna rotación, y los enteros negativos indican rotaciones en sentido horario.

<svg width="100" height="100"> <circle cx="50" cy="50" r="40" stroke="black" fill="transparent"/> <path d="M 50 10 A 40 40, 0, 1, 1, 100 50" stroke="red" fill="transparent"/> </svg>

Estos bucles se consideran iguales si uno puede deformarse en el otro sin cortar el círculo.

Grupos de simetría superiores

Más allá del grupo fundamental, tenemos grupos de homotopía superiores ( pi_n(X)) para ( n geq 2), que consideran análogos de bucles en dimensiones superiores. Estos grupos nos brindan una comprensión más profunda de la estructura de los espacios topológicos. Por ejemplo, ( pi_2(X)) consiste en esferas de mapeo (como la superficie de un globo) en ( X).

Aplicaciones sencillas de la teoría de la homotopía

La teoría de la homotopía se utiliza en una variedad de campos, desde la teoría de cuerdas en física hasta gráficos por computadora y análisis de datos. En informática, analizar la forma de los datos a través de transformaciones continuas puede ayudar a identificar características clave y relaciones dentro de los datos.

Visualización en dimensiones superiores

Es difícil visualizar la homotopía en más de tres dimensiones, ya que nuestra intuición física es limitada. Sin embargo, el uso de proyección y analogía puede ayudar a expresar conceptos de dimensiones superiores. Por ejemplo, imagina la sombra 2D de un objeto 4D para obtener una idea de su estructura.

Conclusión

La teoría de la homotopía enriquece la topología centrándose en la deformación continua de los espacios. Al expandir nuestra comprensión a través de grupos fundamentales y clases de homotopía, proporciona importantes conocimientos sobre las propiedades que definen la forma y la estructura de un espacio. Al considerar espacios hasta la equivalencia de homotopía, la teoría de la homotopía no solo simplifica los escenarios a menudo complejos de la geometría y la topología, sino que también proporciona herramientas poderosas para una variedad de aplicaciones en matemáticas y más allá.


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