Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Топология ↓


Общая топология


Общая топология, также называемая точечной топологией, является разделом математики, изучающим более абстрактные аспекты геометрических объектов. Она направлена на предоставление основного понимания непрерывности, компактности и сходимости с использованием минимальных предположений. Она исследует, как формы и пространства могут складываться или растягиваться при сохранении определенных свойств.

Основы общей топологии

Прежде чем углубляться в более сложные темы, необходимо понять некоторые базовые концепции, такие как множества, функции и отношения. Множество — это совокупность различных объектов, рассматриваемая как объект сам по себе. Множества могут состоять из чего угодно: чисел, букв, форм или даже других множеств.

Пример: Множество целых чисел от 1 до 5 может быть записано как {1, 2, 3, 4, 5}.

Функция — это отношение между множеством входных значений и множеством допустимых выходных значений. Чаще всего она представляется как f: X → Y, где X — это область определения, а Y — кодомена.

Пример: f(x) = x 2 — это функция, которая отображает число в его квадрат, при этом область определения и кодомена являются действительными числами.

Топологические пространства

В основе общей топологии лежит понятие топологического пространства. Топологическое пространство — это множество, снабженное топологией. Топология на множестве X — это совокупность открытых подмножеств X, включающая пустое множество и само X, и замкнутая относительно произвольных объединений и конечных пересечений.

Определение: Топологическое пространство — это пара (X, τ), где X — множество, а τ — топология на X.
Пример: Рассмотрим X = {a, b, c}. Топология на X может быть τ = {∅, {a}, {a, b}, {a, b, c}}.

Открытые и замкнутые множества

В топологии важное различие проводится между открытыми и замкнутыми множествами. Открытое множество является элементом топологии. Замкнутое множество — это множество, дополнительное к которому является открытым.

Теорема: Пересечение любой совокупности замкнутых множеств является замкнутым, а объединение конечного количества замкнутых множеств также является замкнутым.

Эта теорема является прямым следствием определения топологии. Эти свойства имитируют знакомые свойства открытых и замкнутых интервалов в реальном анализе.

Непрерывность и гомеоморфизмы

Функция между двумя топологическими пространствами называется непрерывной, если прообраз любого открытого множества является открытым. Это обобщает обычное понятие непрерывности в математическом анализе. Два пространства являются гомеоморфными, если между ними существует непрерывная биективная функция с непрерывной обратной функцией.

Определение: Функция f : (X, τ) → (Y, σ) является непрерывной, если для любого открытого множества V в σ, прообраз f − 1 (V) содержится в τ.
Пример: Функция f: ℝ → ℝ, определенная как f(x) = 2x, является непрерывной.

Два пространства считаются топологически эквивалентными или гомеоморфными, если они могут быть преобразованы друг в друга без разрыва или склеивания. Эта идея отражает сущность «формы» в топологии.

Сходимость, фильтры и сети

В отличие от множеств чисел в математическом анализе, множества в топологии не всегда могут быть линейно упорядочены. Поэтому понятие последовательности не всегда достаточно для захвата сходимости. Вместо этого топологи используют фильтры и сети.

Фильтр

Фильтр на множестве X — это непустое семейство F подмножеств X, замкнутое относительно конечного пересечения и надмножеств, и не содержащее пустого множества.

Сеть

Сеть — это обобщение последовательности, но она индексируется направленным множеством вместо натуральных чисел. Каждый элемент сети отображается в элемент топологического пространства.

Пример: Рассмотрим сеть, направленную множеством целых чисел, порядок которого нормален. f(n)

Компактность

Компактность — это свойство, обобщающее идея подмножества, которое является замкнутым и ограниченным в евклидовом пространстве. Формально пространство называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие.

Теорема (Хейн–Борель): Подмножество ℝ n является компактным, если и только если оно является замкнутым и ограниченным.

Компактность играет важную роль в анализе поведения функций в топологии, поскольку она обеспечивает надежную форму сходимости.

Связность

Топологическое пространство называется связным, если его нельзя разделить на два непересекающихся непустых открытых множества. Интуитивно пространство является связным, если оно состоит из одного куска.

Пример: В действительных числах интервал [0, 1] является связным, но объединение [0, 0,5) и (0,5, 1] не является связным.

Метрика

Метрические пространства являются специальными типами топологических пространств, в которых определена функция расстояния (или метрика). Это позволяет вводить понятия пределов и непрерывности, аналогично математическому анализу.

Определение: Метрическое пространство (X, d) — это множество X, снабженное функцией d : X × X → [0, ∞), удовлетворяющей следующим условиям:
  • Для всех x, y из X, d(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y (тождество неразличимости).
  • Для всех x, y из X, d(x, y) = d(y, x) (изоморфизм).
  • Для всех x, y, z из X, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (треугольное неравенство).
Пример: Обычная функция расстояния на ℝ является метрикой: d(x, y) = |x - y|.

Значение общей топологии

Знание общей топологии необходимо для многих областей математики, включая такие области, как анализ, геометрия и даже анализ данных, где понятия близости и непрерывности регулярно появляются. Это также важно в физике и инженерии для моделирования пространств, которые встречаются в этих областях.

Общая топология предоставляет язык и структуру для компактного выражения и управления этими концепциями, а также инструменты для понимания сложных структур и непрерывных изменений.

Заключение

Общая топология выступает в роли краеугольного камня чистой математики, закладывая основу для более специализированных областей, таких как алгебраическая топология и дифференциальная топология. Понимание ее основ позволяет математикам обладать инструментами, необходимыми для исследования и понимания бесконечной структуры пространства, характеризующей передовую математическую теорию. Будь то анализ сходимости последовательностей, непрерывность функций или размер и границы пространств, общая топология является незаменимой.


Докторантура → 3.1


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (3)
Топология
следующая (3.1.1) →
Открытые и закрытые множества

комментарии 



Общая топология

https://www.buddymath.com/phd/3.1?bmal=ru