पीएचडी
  1. बीजगणित को समझना  1.1. समूह सिद्धांत  1.1.1. समूहों के मूलभूत गुण  1.1.2. उपसमूह  1.1.3. कोसेट्स और लाग्रेंज प्रमेय  1.1.4. सामान्य उपसमूह  1.1.5. भागफल समूह  1.1.6. समूह होममॉर्फिज़्म  1.1.7. साइलॉ का प्रमेय  1.1.8. फ्री समूहों का परिचय  1.1.9. समूह गतिविधियाँ क्या हैं?  1.1.10. सरल और हल करने योग्य समूह  1.2. रिंग थ्योरी  1.2.1. रिंग और आदर्श  1.2.2. रिंग होम्योमॉर्फिज्म का परिचय  1.2.3. बहुपद रिंग  1.2.4. प्रमुख आदर्श क्षेत्र  1.2.5. विलक्षण अवयव समुच्चय डोमेन  1.2.6. नोएथेरियन रिंग्स  1.2.7. आर्टिनियन रिंग  1.3. क्षेत्र सिद्धांत  1.3.1. क्षेत्र विस्तार  1.3.2. क्षेत्र विभाजन  1.3.3. गैल्वा सिद्धांत  1.3.4. क्षेत्र सिद्धांत में बीजीय बंद  1.3.5. ससीम क्षेत्र  1.3.6. अलौकिक विस्तार  1.4. मॉड्यूल सिद्धांत  1.4.1. रिंग्स के ऊपर माड्यूल्स  1.4.2. फ्री मापांक  1.4.3. मॉड्यूल होमोमोर्फिज़्म  1.4.4. सरल और अर्ध-सरल मापांक  1.4.5. प्रोजेक्टिव माड्यूल्स  1.4.6. इंजेक्टिव मापांक  1.5. रैखिक बीजगणित  1.5.1. वेक्टर स्पेस  1.5.2. रेखीय रूपांतरण  1.5.3. अवगुणांक और अवकल सदिश को समझना  1.5.4. कैनोनिकल रूप  1.5.5. भीतरी गुणन स्थान  1.5.6. स्पेक्ट्रल प्रमेय  1.5.7. एकल मान विश्लेषण
  2. गणितीय विश्लेषण की समझ  2.1. वास्तविक विश्लेषण  2.1.1. वास्तविक संख्याएँ और पूर्णता  2.1.2. अनुक्रमों और श्रेणियों का परिचय  2.1.3. वास्तविक विश्लेषण में निरंतरता  2.1.4. वास्तविक विश्लेषण में व्यक्तिकरण  2.1.5. रीमान एकीककरण  2.1.6. मेट्रिक स्थानों का परिचय  2.1.7. लेबगे मापन  2.2. सम्मिश्र विश्लेषण  2.2.1. श्रेय इमेज ऊपर से अनलॉकिंग फोटो श्रद्धालय विहार  2.2.2. विश्लेषणात्मक फलन  2.2.3. कांटूर इंटीग्रेशन  2.2.4. कॉशी का प्रमेय  2.2.5. अवशेष प्रमेय  2.2.6. कोन्फ़ॉर्मल मैपिंग  2.3. फंक्शनल एनालिसिस  2.3.1. मानक स्थानों को समझना  2.3.2. बनाख स्थानों का परिचय  2.3.3. हिल्बर्ट स्थान  2.3.4. रेखीय ऑपरेटर  2.3.5. स्पेक्ट्रल सिद्धांत  2.3.6. संकुचित संचालक  2.4. मापन सिद्धांत  2.4.1. सिग्मा बीजगणित  2.4.2. मापन सिद्धांत में माप और समाकल  2.4.3. लेबेस्ग इंटीग्रेशन  2.4.4. संविसरण प्रमेय  2.4.5. फुबिनी का प्रमेय  2.5. हार्मोनिक विश्लेषण  2.5.1. फूरिए श्रंखला  2.5.2. फूरियर रूपांतरण  2.5.3. वितरण सिद्धांत  2.5.4. वेवलेट्स
  3. टोपोलॉजी  3.1. सामान्य टोपोलॉजी  3.1.1. खुले और बंद सेट  3.1.2. सततता  3.1.3. सघनता का परिचय  3.1.4. सामान्य टोपोलॉजी में कनेक्टिविटी  3.1.5. मेट्रिक टोपोलॉजी  3.2. बीजगणितीय समिष्टिप्ररूप  3.2.1. मूलभूत समूह  3.2.2. होमोटॉपी सिद्धांत  3.2.3. होमोलॉजी सिद्धांत  3.2.4. कोहोमोलॉजी  3.2.5. सटीक अनुक्रम  3.3. विभेदीय विमीय आकारिकी  3.3.1. स्मूथ मैनीफोल्ड्स  3.3.2. स्पर्शज समष्टि  3.3.3. वेक्टर क्षेत्र  3.3.4. डिफरेंशियल फॉर्म्स को समझना
  4. ज्यामिति  4.1. गतिज्यामिति  4.1.1. डिफरेंशियल ज्योमेट्री में वक्र और सतहें  4.1.2. रीमान ज्यामिति  4.1.3. अंतरात्मक ज्यामिति में ज्योडेसिक को समझना  4.1.4. वक्रता  4.2. बीजगणितीय ज्यामिति  4.2.1. एफाइन और प्रोजेक्टिव वैराइटिज  4.2.2. योजनाएं  4.2.3. विभाजक और प्रतिच्छेत्ता  4.2.4. बीजीय ज्यामिति में सहसमिति  4.3. संगणकीय ज्यामिति  4.3.1. कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में उत्तल आवरण का परिचय  4.3.2. त्रिकोणन  4.3.3. वोरोनोई आरेख  4.3.4. ज्यामितीय एल्गोरिदम
  5. संख्या सिद्धांत  5.1. प्राथमिक संख्या सिद्धांत  5.1.1. प्राथमिक संख्या सिद्धांत में भाज्यता  5.1.2. प्राथमिक संख्या सिद्धांत में समरूपता  5.1.3. मॉड्यूलर अंकगणित  5.2. विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत  5.2.1. प्राइम संख्या प्रमेय  5.2.2. डिरिचलेट श्रेणी  5.2.3. ज़ीटा और L-फंक्शन्स  5.3. बीजगणितीय संख्या सिद्धांत  5.3.1. संख्यात्मक क्षेत्र  5.3.2. बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में आदर्शों का परिचय  5.3.3. बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में वर्ग समूह  5.3.4. गैलोइस निरूपण
  6. साथ  6.1. कम्प्यूटेशनल संयोज्य  6.1.1. उत्पादक फलन  6.1.2. पुनरावृत्ति संबंध  6.1.3. संचय और संयोजन  6.2. ग्राफ सिद्धांत  6.2.1. समग्र समरूपता  6.2.2. ग्राफ सिद्धांत में सरलता  6.2.3. ग्राफ रंगकण  6.3. अत्यधिक संयोजनिकी  6.3.1. राम्से सिद्धांत  6.3.2. चरम संयोज्य गणित में प्रायिक विधियाँ  6.4. बीजगणितीय संयोजन विज्ञान  6.4.1. बीजगणितीय संयोज्य सिद्धांत में मैट्रिक्स विधियाँ  6.4.2. प्रतिनिधित्व सिद्धांत
  7. तर्क और आधार  7.1. समुच्चय सिद्धांत  7.1.1. जर्मेलो-फ्रेंकल स्वयंसिद्ध  7.1.2. क्रम और कार्डिनल्स  7.2. मॉडल थ्योरी का परिचय  7.2.1. मॉडल थ्योरी में संरचनाएं और सिद्धांत  7.2.2. सघनता प्रमेय  7.3. प्रमाण सिद्धांत  7.3.1. औपचारिक प्रणालियाँ  7.3.2. संगति और पूर्णता
  8. प्रायिकता और सांख्यिकी  8.1. प्रायिकता सिद्धांत  8.1.1. यादृच्छिक चर  8.1.2. अपेक्षा और भिन्नता  8.1.3. सेंट्रल लिमिट थ्योरम  8.2. यादृच्छिक प्रक्रियाएँ  8.2.1. मार्कोव चेन  8.2.2. ब्राउनियन गति  8.3. सांख्यिकी अनुमान  8.3.1. परिकल्पना परीक्षण  8.3.2. प्रतिगमन विश्लेषण
  9. व्यावहारिक गणित  9.1. अनुप्रयुक्त गणित में सांख्यिकीय विश्लेषण  9.1.1. आवर्ती विधियाँ  9.1.2. इंटरपोलेशन  9.1.3. त्रुटि विश्लेषण  9.2. आंशिक अवकल समीकरण  9.2.1. अण्डाकार समीकरण  9.2.2. पैराबोलिक समीकरण  9.2.3. हाइपरबोलिक समीकरण  9.3. डायनामिक सिस्टम्स  9.3.1. अराजकता सिद्धांत  9.3.2. गतिशील प्रणालियों में स्थिरता विश्लेषण

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सामान्य टोपोलॉजी


सामान्य टोपोलॉजी, जिसे बिंदु-सेट टोपोलॉजी भी कहा जाता है, गणित की एक शाखा है जो ज्यामितीय वस्तुओं के अधिक अमूर्त पहलुओं का अध्ययन करती है। इसका उद्देश्य न्यूनतम अनुमानों का उपयोग करते हुए निरंतरता, संपूर्णता और अभिसरण की एक आधारभूत समझ प्रदान करना है। यह अन्वेषण करता है कि किस प्रकार आकार और स्थान को कुछ गुणों को बनाए रखते हुए मोड़ा या खींचा जा सकता है।

सामान्य टोपोलॉजी की मूल बातें

गहराई में जाने से पहले, हमें कुछ बुनियादी अवधारणाओं जैसे संग्रहों, प्रकार्य, और संबंधों को समझना आवश्यक है। एक संग्रह भिन्न वस्तुओं का समूह है, जिसे एक वस्तु के रूप में विचार किया जाता है। संग्रह किसी भी चीज का बनाया जा सकता है: संख्याएँ, अक्षर, आकार, या यहाँ तक कि अन्य संग्रह।

उदाहरण: 1 से 5 के बीच के पूर्णांकों का संग्रह {1, 2, 3, 4, 5} लिखा जा सकता है।

एक प्रकार्य, इनपुट सेट और स्वीकृत आउटपुट सेट के बीच संबंध है। इसे अक्सर फ: X → Y के रूप में प्रदर्शित किया जाता है, जहाँ X डोमेन और Y कोडोमेन है।

उदाहरण: f(x) = x 2 एक प्रकार्य है जो किसी संख्या को उसके वर्ग से मेल खाता है, दोनों डोमेन और कोडोमेन वास्तविक संख्याएँ हैं।

टोपोलॉजिकल स्पेस

सामान्य टोपोलॉजी के मूल में एक टोपोलॉजिकल स्पेस की अवधारणा है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक सेट है जो टोपोलॉजी से सुसज्जित है। सेट X पर टोपोलॉजी X के खुले उपसंग्रहों का एक संग्रह है जिसमें शून्य सेट और X स्वयं शामिल है, और यह मनमाने संघ और सीमित प्रतिच्छेदन के अधीन बंद है।

परिभाषा: एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक जोड़ी (X, τ) है, जहाँ X एक सेट है और τ X पर एक टोपोलॉजी है।
उदाहरण: विचार करें X = {a, b, c}. X पर टोपोलॉजी हो सकती है τ = {∅, {a}, {a, b}, {a, b, c}}।

खुला और बंद सेट

टोपोलॉजी में, खुले और बंद सेटों के बीच एक महत्वपूर्ण भेद किया जाता है। एक खुला सेट टोपोलॉजी का तत्व होता है। एक बंद सेट वह सेट है जिसका पूरक खुला होता है।

सिद्धांत: किसी भी संग्रह के बंद सेटों का प्रतिच्छेदन बंद होता है, और सीमित संख्या के बंद सेटों का संघ बंद होता है।

यह सिद्धांत टोपोलॉजी की परिभाषा का सीधा परिणाम है। ये गुण वास्तविक विश्लेषण में खुले और बंद अंतरालों के परिचित गुणों का अनुकरण करते हैं।

निरंतरता और होमियोमॉर्फ़िज्म

दो टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच एक प्रकार्य निरंतर तब कहलाता है जब हर खुले सेट की पूर्व छवि खुली होती है। यह गणना में निरंतरता की सामान्य धारणा का सामान्यीकरण करता है। दो स्पेस होमियोमॉर्फ़िक होते हैं यदि उनके बीच एक ऐसी द्विआधारी प्रकार्य होती है और उसकी पूर्व छवि भी निरंतर होती है।

परिभाषा: एक प्रकार्य f : (X, τ) → (Y, σ) निरंतर है यदि σ में हर खुले सेट V के लिए, पूर्व छवि f − 1 (V) τ में होती है।
उदाहरण: f: ℝ → ℝ द्वारा परिभाषित f(x) = 2x निरंतर है।

दो स्पेस टोपोलॉजिकली समकक्ष या होमियोमॉर्फ़िक माने जाते हैं यदि वे बिना फाड़े या जोड़े एक-दूसरे में रूपांतरित हो सकते हैं। यह विचार टोपोलॉजी में "आकार" के सार को दर्शाता है।

अभिसरण, फिल्टर, और नेट्स

गणना में संख्याओं के सेट की तुलना में, टोपोलॉजी में सेट हमेशा रेखीय रूप से क्रमबद्ध नहीं होते हैं। इसलिए, अनुक्रम का विचार हमेशा अभिसरण को पकड़ने के लिए पर्याप्त नहीं होता है। इसके बजाय, टोपोलॉजिस्ट फिल्टर और नेट्स का उपयोग करते हैं।

फिल्टर

एक फिल्टर सेट X पर उपसंग्रहों का एक अपूर्ण परिवार F है जो सीमित प्रतिच्छेदन और अधिसंग्रहण के तहत बंद रहता है, और शून्य सेट नहीं होता।

नेट

एक नेट अनुक्रम का एक सामान्यीकरण है, लेकिन इसे प्राकृतिक संख्याओं के बजाय एक निर्देशक सेट द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। नेट का प्रत्येक तत्व एक टोपोलॉजिकल स्पेस के तत्व को मैप करता है।

उदाहरण: एक नेट पर विचार करें जो पूर्णांकों के सेट द्वारा निर्दिष्ट किया गया है, जिसका क्रम सामान्य है। f(n)

संपूर्णता

संपूर्णता एक गुण है जो एक यूक्लिडीयन स्पेस में एक उपसंग्रह के बंद और सीमित होने के विचार को सामान्यीकृत करता है। औपचारिक रूप से, एक स्पेस संपूर्ण होता है यदि हर खुली कवर का एक सीमित उपकवर होता है।

सिद्धांत (हाइन-बोरेल): ℝ n का एक उपसंग्रह संपूर्ण होता है यदि और केवल यह बंद और सीमित हो।

संपूर्णता टोपोलॉजी में कार्यों के व्यवहार का विश्लेषण करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है क्योंकि यह अभिसरण का एक मजबूत रूप प्रदान करती है।

संलग्नता

एक टोपोलॉजिकल स्पेस संलग्न होता है यदि इसे दो पृथक अदम्य खुले सेटों में विभाजित नहीं किया जा सकता है। सहज रूप में, एक स्पेस संलग्न होता है यदि यह सभी एक टुकड़े में हो।

उदाहरण: वास्तविक संख्याओं में [0, 1] का अंतराल संलग्न होता है, लेकिन [0, 0.5) और (0.5, 1] का संघ संलग्न नहीं होता।

मेट्रिक स्पेस

मेट्रिक स्पेस विशेष प्रकार के टोपोलॉजिकल स्पेस होते हैं जिनमें एक दूरी प्रकार्य (या मेट्रिक) परिभाषित होता है। यह हमें सीमाएं और निरंतरता के विचारों को वास्तविक विश्लेषण के समान परिचित करवाता है।

परिभाषा: एक मेट्रिक स्पेस (X, d) एक सेट X है जो एक प्रकार्य d : X × X → [0, ∞) से सुसज्जित है जो निम्नलिखित को संतुष्ट करता है:
  • सभी x, y के लिए X में, d(x, y) = 0 तब और केवल तब जब x = y (अप्रभेद्यता की पहचान)।
  • सभी x, y के लिए X में, d(x, y) = d(y, x) (समरूपता)।
  • सभी x, y, z के लिए X में, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (त्रिभुज असमानता)।
उदाहरण: ℝ पर सामान्य दूरी प्रकार्य एक मेट्रिक है: d(x, y) = |x - y|।

सामान्य टोपोलॉजी का महत्व

सामान्य टोपोलॉजी की एक मजबूत समझ होना गणित के कई क्षेत्रों के लिए आवश्यक है, जिनमें विश्लेषण, ज्यामिति और यहाँ तक कि आंकड़ा विज्ञान शामिल हैं, जहाँ निकटता और निरंतरता जैसे अवधारणाएँ नियमित रूप से प्रकट होती हैं। यह भौतिकी और इंजीनियरिंग के लिए भी महत्वपूर्ण है, ताकि इन क्षेत्रों में स्वाभाविक रूप से प्रकट होने वाले स्थानों का मॉडल बन सके।

सामान्य टोपोलॉजी इन अवधारणाओं को संक्षेप में व्यक्त करने और संभालने के लिए एक भाषा और ढांचा प्रदान करती है, और जटिल संरचनाओं और निरंतर रूप में होने वाले परिवर्तनों की समझ के लिए उपकरण प्रदान करती है।

निष्कर्ष

सामान्य टोपोलॉजी शुद्ध गणित की आधारशिला के रूप में उभरता है, जो विशेषीकृत क्षेत्रों जैसे बीजगणितीय टोपोलॉजी और अंतर टोपोलॉजी के लिए आधारशिला रखता है। इसके मौलिक तत्वों को समझकर, गणितज्ञ अपने आप को अनंत अंतरिक्ष के ताने-बाने का अन्वेषण करने और समझने के लिए आवश्यक उपकरणों से लैस करते हैं जो उन्नत गणितीय सिद्धांत की विशेषता है। अनुक्रमों के अभिसरण, कार्यों की स्थिरता, या स्थानों के आकार और सीमाओं के साथ निपटने के लिए, सामान्य टोपोलॉजी अपरिहार्य है।


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