Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Topología métrica


La topología métrica sirve como un concepto fundamental en el campo de la topología general, una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio abstracto de espacios y sus propiedades. Surge de la idea de medir la distancia entre puntos en un conjunto dado, proporcionando un marco que combina la geometría y la topología.

Conceptos básicos del espacio métrico

Para entender la topología métrica, primero necesitamos explorar el concepto de un espacio métrico. Un espacio métrico es un conjunto ( M ) con una métrica (función de distancia) ( d: M times M to mathbb{R} ) que satisface las siguientes propiedades para todos ( x, y, z in M ):

  1. No negatividad : ( d(x, y) geq 0 )
  2. Identidad del indistinguible : ( d(x, y) = 0 ) si y solo si ( x = y )
  3. Simetría : ( d(x, y) = d(y, x) )
  4. Desigualdad triangular : ( d(x, z) leq d(x, y) + d(y, z) )

Ejemplo visual 1: Espacio euclidiano 2D

A(0,0) b(1,1)

Considere un plano euclidiano 2D donde cada punto es un par de coordenadas ((x, y)). Para dos puntos (A(0, 0)) y (B(1, 1)), la métrica euclidiana (d(A, B)) se calcula como:

d(A, B) = sqrt{(1 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = sqrt{2}

Esta ilustración muestra el concepto de medir distancia usando una métrica de manera visual.

Topología inducida por la métrica

Una métrica induce una topología en el conjunto (M) definiendo la noción de un conjunto abierto. Un conjunto abierto en un espacio métrico se caracteriza usando bolas abiertas. Una bola abierta, centrada en un punto (x) con radio (r), es el conjunto:

B(x, r) = { y in M mid d(x, y) < r }

Un subconjunto ( U subseteq M ) se llama abierto si para cada punto ( x in U ), existe algún ( r > 0 ) tal que la bola abierta ( B(x, r) ) está completamente contenida en ( U ).

Ejemplo visual 2: Bola abierta en 2D

Centro R

La ilustración anterior muestra una bola abierta con un punto central y un radio dado ( r ). Cualquier punto dentro de este círculo se considera que está en el conjunto abierto definido por la bola.

Propiedades de la topología métrica

La topología generada por una métrica tiene varias propiedades importantes, que reflejan las propiedades intuitivas que esperaríamos de un "espacio". Algunas de estas propiedades son las siguientes:

  • Propiedad de Hausdorff : para cualesquiera dos puntos distintos, existen conjuntos abiertos disjuntos que contienen cada uno de los puntos.
  • Primera contabilidad : cada punto tiene una base contable de vecindades, es decir, una secuencia de conjuntos abiertos que "convergen" en el punto.
  • Generalidad : Cada par de conjuntos cerrados disjuntos se puede separar mediante conjuntos abiertos.

Estas propiedades hacen que los espacios métricos sean particularmente buenos para trabajar, ya que se alinean bien con nuestra intuición geométrica.

Ejemplo de texto

Considere la recta numérica real ( mathbb{R} ), que es un ejemplo clásico de un espacio métrico. La métrica aquí es la diferencia absoluta: ( d(x, y) = |x - y| ). En este espacio, un intervalo abierto ( (a, b) ) es un conjunto abierto, porque para cualquier punto ( x ) dentro del intervalo, puedes encontrar una pequeña bola alrededor de ( x ) que se encuentra completamente dentro de ( (a, b) ).

Convergencia y continuidad

Así como en el cálculo tenemos los conceptos de convergencia y continuidad, la topología métrica nos permite extender estas ideas a espacios más abstractos:

Convergencia : Una secuencia ((x_n)) en (M) converge a un punto (x) si para cada ( epsilon > 0), existe un (N) tal que para todo (n > N), se cumple que ( d(x_n, x) < epsilon).

Continuidad : Una función ( f: M to N ) entre dos espacios métricos es continua en un punto ( x ) si para cada ( epsilon > 0 ), existe un ( delta > 0 ) tal que ( d_M(x, y) < delta ) implica ( d_N(f(x), f(y)) < epsilon ).

Ejemplo visual 3: Convergencia

X

El diagrama anterior muestra una secuencia de puntos en una línea convergiendo a un punto ( x ).

Completitud y compacidad

Dos conceptos más importantes en la topología métrica son la completitud y la compacidad:

Un espacio métrico ( M ) es completo si cada secuencia de Cauchy en ( M ) tiene un límite que también está dentro de ( M ). Los números reales son un ejemplo clásico de un espacio completo.

Un subconjunto ( K subset M ) es compacto si cada cubierta abierta de ( K ) tiene un subcobertura finita. En un espacio métrico, la compacidad es equivalente a ser cerrado y acotado, un hecho conocido como el teorema de Heine-Borel.

Ejemplo de texto

En (mathbb{R}), considere el intervalo cerrado ([0, 1]). Este es un subconjunto denso: cualquier colección de intervalos abiertos que cubre ([0, 1]) puede reducirse a una colección finita que aún lo cubre.

Conclusión

La topología métrica conecta los mundos de la geometría y la topología, proporcionando una manera de hablar sobre continuidad, convergencia y compacidad dentro de un entorno abstracto a través del concepto tangible de distancia. Aunque los espacios métricos en sí mismos no contienen todos los espacios topológicos posibles (ya que las métricas son espacios sin una base), sirven como un importante trampolín para avanzar hacia espacios de mayor complejidad en el campo de la topología.


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