一般位相における連結性

連結性は位相幾何学における基本的な概念です。位相幾何学は、連続変換の下で保持される空間の特性を扱う数学の一分野です。位相幾何学において、連結性は空間がどのように構成されているかを理解するのに役立ちます。具体的には、空間を2つの互いに素な開集合に分割できるかどうかを問います。この概念は、空間が「一体であるかどうか」の直感的な概念を捉えています。

基本概念

連結性の考え方を理解するためには、まず位相空間、開集合、連続関数といった位相幾何学のいくつかの重要な概念を理解する必要があります。

位相空間

位相空間とは、いくつかの公理を満たす開部分集合の集まり T と共に備えられた集合 S のことです。これらの公理には以下が含まれます：

• 空集合と完全な空間 S が T に含まれます。
• T のメンバーの任意の和集合も T のメンバーです。
• T の有限個のメンバーの交わりは T にあります。

この集まり T は S 上の位相と呼ばれます。S の要素は点と呼ばれます。

開集合と閉集合

位相 T における集合は開集合と呼ばれます。集合は開かれている場合も、閉じている場合も、両方の場合も、あるいはどちらでもない場合もあります。集合はその補集合が開いている場合に閉じています。有限位相では、全体集合と空集合の両方が開かれており、閉じてもいます。これらはクロープン集合と呼ばれることがよくあります。

連続作業

2つの位相空間の間の関数は、すべての開集合の逆像が開いている場合に連続です。位相幾何学における連続性は、微積分学における連続関数の概念を一般化したものです。

関与を定義する

位相空間は、2つの空でない互いに素な開部分集合に分割できない場合に連結と見なされます。言い換えれば、ある空間が連結しているということは、次のような開集合 U と V のペアが存在しないことを意味します：

• U ∪ V = X（ここで X は位置です）、
• U ∩ V = ∅（空集合）、
• U と V の両方が空ではない。

そのような開集合が存在する場合、その空間は分離されています。

    空間 X は連結している ⇔ ¬∃(U, V : U ∪ V = X, U ∩ V = ∅, U ≠ ∅, V ≠ ∅)
    空間 X は連結している ⇔ ¬∃(U, V : U ∪ V = X, U ∩ V = ∅, U ≠ ∅, V ≠ ∅)

視覚例1：直線区間

赤い点は実数直線上の区間の端点を示しています。この区間は、重ならない2つの空でない開集合に分割する方法がないため、連結空間です。

例1：実数直線

実数直線 ℝ を考えてみましょう。この空間は、2つの空でない開区間に分割することができないため、連結しています。そのような連続カテゴリには、空間を互いに異なる部分集合に分割する区間や区切りは存在しません。

視覚例2：切断された集合

このイラストは、切断された空間の2つの要素を表す、離れた円を2つ示しています。

例2：切断された集合

平面上の2つの点から成る集合を想像してみてください。これらは互いに接続されておらず、それらが互いに交差せずに空間全体を覆う開集合が存在するため、切断されています。

コンポーネントとパスの関連

空間が連結していない場合、それは最大連結部分集合の集合であるコンポーネントに分解することができます。各コンポーネントはそれ自体が連結空間です。

パスの関連

空間内の任意の2点が連続した経路でつながる場合、その空間は経路連結と呼ばれます。すべての経路連結空間は連結ですが、すべての連結空間が経路連結であるとは限りません。

視覚例3：パスの組み合わせ

2つの円がパスで結ばれている様子を示しています。したがって、この全体の構造はパスで連結され、またつながっています。

文章例3：非経路連結だが連結

トポロジストのサイン曲線のように振る舞う集合を想像してみてください。これは連結ですが、振動のため境界の端点間の経路を認めません。この例は、連結していることと経路連結していることは同じではないことを示しています。

連結空間の性質

連結性の概念にはいくつかの重要な特性があります：

• 連結空間の積： 連結空間のデカルト積は連結しています。
• 連続関数の下での像： 連続関数の下での連結空間の像は連結のままです。
• コンポーネントは閉じている： 空間のコンポーネントは閉集合です。

視覚例4：連結積

各矩形は連結空間を表していますが、デカルト積は連結性を保持します。

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