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खुले और बंद सेट
गणित के व्यापक क्षेत्र में, टोपोलॉजी अपनी निरंतरता की अवधारणा के सृजन और सामान्यीकरण के कारण एक विशेष स्थान रखता है। टोपोलॉजी की आधारशिला में से एक है खुले और बंद सेट का विचार। यह चर्चा इन अवधारणाओं पर गहराई से बात करेगी, उन्हें सरल शब्दों में समझाएगी और समझाने में मदद के लिए उदाहरण और दृश्य प्रस्तुत करेगी।
टोपोलॉजी को समझना
टोपोलॉजी मूल रूप से स्थान, निरंतरता और उन गुणों का अध्ययन है जो खिंचवाने या घुमाने जैसे विरुपणों के माध्यम से अपरिवर्तित रहते हैं (लेकिन फाड़ने या चिपकाने के नहीं)। यह निरंतर रूपांतरणों के तहत स्थानिक गुणों की धारणा को सामान्य बनाता है। एक रबड़ की शीट पर विचार करें; उस पर बनाया एक वर्ग इसे घुमाकर और मोड़कर बिना तोड़े या फाड़े एक वृत्त में परिवर्तित किया जा सकता है। यह सहज धारणा टोपोलॉजी की नींव बनाती है।
खुले और बंद सेट को परिभाषित करना
खुले और बंद सेट को समझने के लिए, हमें पहले एक टोपोलॉजिकल स्थान की अवधारणा को समझना होगा। एक टोपोलॉजिकल स्थान एक सेट (X) होता है जिसे (mathcal{T}) के रूप में जाने जाने वाले उपसमूह का संग्रह, जो टोपोलॉजी कहलाता है, से लैस किया जाता है, जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:
- खाली सेट (emptyset) और पूरा सेट (X) (mathcal{T}) में होते हैं।
- (mathcal{T}) में किसी भी सेट के संग्रह का संयोजन भी (mathcal{T}) में होता है।
- (mathcal{T}) में किसी भी सीमित संख्या के सेट का प्रतिच्छेदन भी (mathcal{T}) में होता है।
इस संदर्भ में, (mathcal{T}) के सेट को खुले सेट कहा जाता है। इसी बीच, एक टोपोलॉजिकल स्थान का उप-समूह तभी बंद कहलाता है जब उसकी पूरकता (पूरा स्थान) एक खुला सेट होता है। इसलिए, यदि (C) एक बंद सेट (X) में है, तो (X setminus C) एक खुला सेट है।
खुले सेट के उदाहरण
आइए वास्तविक संख्या रेखा (mathbb{R}) को साधारण टोपोलॉजी के साथ विचार करें, जो मूल रूप से खुले अंतराल के संग्रह के रूप में खुले सेट होते हैं।
एक सामान्य खुला सेट हो सकता है ( (a, b) = { x in mathbb{R} mid a < x < b } )।इसका मतलब है कि सेट (a) और (b) के बीच सभी संख्याओं को शामिल करता है, लेकिन (a) और (b) को स्वयं नहीं।
खुले सेट का दृश्य प्रतिनिधित्व
इस आरेख में, रेखा वास्तविक संख्या रेखा का प्रतिनिधित्व करती है और (a) और (b) पर खुले वृत्त संकेत करते हैं कि ये छोर खुले सेट ( (a, b)) में शामिल नहीं हैं।
बंद सेट के उदाहरण
वास्तविक संख्या रेखा (mathbb{R}) में, बंद सेट का एक क्लासिक उदाहरण होगा एक बंद अंतराल:
[b, c] = { x in mathbb{R} mid b leq x leq c }यहां, दोनों छोर (b) और (c) सेट में शामिल हैं।
बंद सेट का दृश्य प्रतिनिधित्व
इस मामले में, (b) और (c) पर भरे हुए वृत्त का मतलब है कि ये छोर सेट ([b, c]) में शामिल हैं।
खुले और बंद सेट के गुण
खुले और बंद सेट के रोचक गुण और अंतःक्रियाएं होती हैं, जिनमें से कुछ निम्नलिखित हैं:
1. पूरा स्थान और खाली सेट
पूरा सेट (X) और खाली सेट (emptyset) किसी भी टोपोलॉजिकल स्थान में एक साथ खुला और बंद दोनों होते हैं। ऐसे सेट को "क्लॉपेन" कहा जाता है।
2. संघ और प्रतिच्छेदन
खुले सेट के किसी भी संग्रह का संघ खुला होता है, जबकि सीमित संख्या के खुले सेट का प्रतिच्छेदन खुला होता है। इसके विपरीत, सीमित संख्या के बंद सेट का संघ बंद होता है, और बंद सेट के किसी भी संग्रह का प्रतिच्छेदन बंद होता है।
3. आंतरिक और बंद क्षेत्र
किसी भी टोपोलॉजिकल स्थान (X) के उप-सेट (A) के लिए, आंतरिक, जिसे (text{int}(A)) द्वारा सूचित किया जाता है, (A) के भीतर सबसे बड़ा खुला सेट होता है। वहीं, बंद क्षेत्र, जिसे (text{cl}(A)) के रूप में सूचित किया जाता है, (A) में सबसे छोटा बंद सेट होता है।
अन्य स्थानों में पाठ्यात्मक उदाहरण
मेट्रिक स्थान
जैसे कि (mathbb{R}^2) जैसे किसी मेट्रिक स्थान पर विचार करें। यहां एक खुला सेट एक खुला डिस्क होगा:
{ (x,y) in mathbb{R}^2 : sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 } < r }जहां ((x_0, y_0)) केंद्र होता है, और (r) सीमा को छोड़कर त्रिज्या होती है।
दृश्य उदाहरण: (mathbb{R}^2) में खुला डिस्क
मेट्रिक स्थान में बंद सेट का उदाहरण
(mathbb{R}^2) में एक बंद डिस्क इस प्रकार परिभाषित की जाती है:
{ (x,y) in mathbb{R}^2 : sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 } leq r }यहां, वृत की सीमा शामिल होती है।
खुले और बंद सेट का महत्व
टोपोलॉजी में खुले और बंद सेटों की अवधारणा दृष्टांत और साधारण उदाहरणों से आगे तक फैली होती है। यह अधिक जटिल टोपोलॉजिकल अवधारणाओं के लिए नींव का कार्य करती है। विशेष रूप से, ये सेट निरंतरता, अभिसरण, और लक्ष्यता को परिभाषित करने में महत्वपूर्ण होते हैं, जो सामान्य टोपोलॉजिकल स्थानों में होते हैं।
निरंतरता
एक क्रिया (f : X to Y) टोपोलॉजिकल स्थानों के बीच निरंतर है यदि (Y) में प्रत्येक खुले सेट की पूर्व-छवि (X) में खुली होती है। यह निरंतर क्रिया की पारंपरिक धारणा का दर्पण है, लेकिन इसे मनमाने टोपोलॉजिकल स्थानों पर सामान्यीकृत किया जाता है।
अभिसरण
टोपोलॉजी में अभिसरण आमतौर पर अनुक्रम (या अधिक अमूर्त रूप से, जाल) की धारणा को संदर्भित करता है जो सीमाओं की ओर जाता है। एक टोपोलॉजिकल स्थान में अनुक्रम एक बिंदु की ओर अभिसरित होता है यदि हर खुले सेट के लिए जिसमें बिंदु स्थित होता है, ऐसा एक चरण होता है जिसके बाद सभी अनुक्रम तत्व उस खुले सेट में स्थित होते हैं।
घनत्व
एक टोपोलॉजिकल स्थान कॉम्पैक्ट होता है यदि प्रत्येक खुले आवरण का एक सीमित उप-आवरण होता है। लैश्यता एक अमूर्त विस्तार है बंदता और सीमितता के विचारों का, जो क्रियात्मक विश्लेषण और आगे में कई शक्तिशाली निहितार्थ रखता है।
निष्कर्ष
टोपोलॉजी में खुले और बंद सेट निरंतरता और संबंधित गुणों का वर्णन और विश्लेषण करने की मौलिक भाषा प्रदान करते हैं। हालांकि शुरू में अमूर्त होते हैं, उदाहरणों के माध्यम से हासिल की गई सहज समझ – उनके उन्नत गणितीय अवधारणाओं में अनुप्रयोग के साथ – उनकी वास्तविक महत्वता को प्रकट करती है। टोपोलॉजिकल स्थान स्पष्ट ज्यामिति और कैल्कुलस की समझ में परिवर्तन लाते हैं, यह बदलते हुए कि गणितज्ञ और वैज्ञानिक निरंतरता और संबंधित घटनाओं का विश्लेषण करते हैं, जिससे टोपोलॉजी आधुनिक गणित की एक महत्वपूर्ण स्तंभ बनाता है।
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