Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура ↓


Понимание математического анализа


Математический анализ — это строгая ветвь математики, которая изучает пределы, непрерывность, производные, интегралы и бесконечные ряды. Это основа для многих других областей математики, таких как дифференциальные уравнения, функциональный анализ и математическая физика.

Основные концепции

Чтобы понять математический анализ, начнем с изучения его основных концепций, включая функции, пределы и последовательности.

Работа

Функция — это отношение между множеством входных данных и множеством возможных выходных данных, где каждому входному соответствует ровно один выход. Это можно представить как машину или правило, которое берет одно число и производит другое число.

f(x) = x^2

В этой функции, когда вы вводите значение для x, результатом будет квадрат x.

Ограничения

Концепция предела является фундаментальной для анализа. Она описывает значение, к которому функция приближается при приближении к некоторому значению входного параметра.

lim (x → 3) f(x) = ? Если f(x) = 2x + 1, тогда lim (x → 3) f(x) = 2(3) + 1 = 7

Последовательности и ряды

Последовательность — это упорядоченный список чисел, а бесконечный ряд — это сумма членов последовательности.

Последовательность: {1, 1/2, 1/4, 1/8, ...} Ряд: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Непрерывность

Функция является непрерывной в точке, если выполняются следующие три условия:

  1. Функция определена в этой точке.
  2. Предел функции конечен при приближении к точке.
  3. Предел равен значению функции в этой точке.

Производные

Производная функции описывает скорость изменения функции. Она геометрически представляется как наклон касательной к графику функции.

Этот график показывает квадратичную функцию с касательной. Наклон касательной представляет производную в этой точке.

f(x) = x^2 f'(x) = 2x

Функция производной, f'(x), дает наклон касательной в любой точке x к исходной функции f(x).

Интегралы

Интегрирование является обратной операцией дифференцирования. В то время как производные дают нам наклон или скорость изменения, интегралы дают полное накопление или площадь под кривой.

Эта диаграмма иллюстрирует концепцию площади под кривой, которую измеряет интегрирование.

∫ f(x) dx = (1/3)x^3 + C Для f(x) = x^2

Интеграл накапливает площадь под кривой f(x) = x^2, результатом чего является функция (1/3)x^3 + C

Применение в реальном мире

Анализ — это не только теоретическая дисциплина; это основа многих реальных приложений. Вот несколько примеров:

Физика

В физике математический анализ используется для описания импульса, энергии и других физических величин, изменяющихся со временем. Один из разделов анализа, математический анализ, позволяет физикам моделировать динамику частиц и предсказывать поведение.

Экономика

В экономике анализ используется для моделирования функций затрат, прогнозирования экономического роста и оптимизации прибыли, где он помогает оценивать изменения и тенденции с течением времени.

Прибыль = Доход - Затраты

Производные могут помочь определить максимизацию прибыли, анализируя наклон функций затрат и доходов.

Продвинутые темы в анализе

Для изучающих анализ на более высоком академическом уровне важными становятся дополнительные концепции, такие как метрические пространства, функциональный анализ и комплексный анализ.

Метрическое пространство

Метрические пространства расширяют концепцию расстояния между точками в обобщенном пространстве, позволяя строгий подход к функциям и их сходимости.

d(x, y) = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Это базовый пример функции расстояния в евклидовом пространстве, используемой в анализе метрических пространств.

Функциональный анализ

Функциональный анализ изучает векторные пространства с границами, часто применяемые к дифференциальным уравнениям и квантовой механике. Он обобщает некоторые концепции линейной алгебры.

Комплексный анализ

Комплексный анализ включает изучение функций комплексных чисел. Он широко используется в инженерии и теории чисел, где имеет глубокую связь с алгебраическими свойствами.

Заключение

Анализ предоставляет мощные инструменты для понимания и решения широкого круга задач, как теоретических, так и практических. Его основные идеи — пределы, производные и интегралы — составляют основу значительной части современной математики и её многочисленных приложений в разных научных областях. Изучение анализа дает глубокое понимание непрерывного изменения, которое характеризует реальный мир.


Докторантура → 2


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (1.5.7)
Разложение по сингулярным значениям
следующая (2.1) →
Реальный анализ

комментарии 



Понимание математического анализа

https://www.buddymath.com/phd/2?bmal=ru