Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Понимание математического анализа ↓


Гармонический анализ


Гармонический анализ — это раздел математики, занимающийся представлением функций или сигналов в виде суперпозиций фундаментальных волн, а также изучением и обобщением рядов Фурье и преобразований Фурье. Это можно рассматривать как исследование того, как функции могут быть разложены на более простые «гармонические» компоненты.

Введение

Чтобы понять гармонический анализ, давайте рассмотрим простой пример: Представьте, что вы слушаете вашу любимую песню. На самом деле вы слышите сложную смесь различных звуков, достигающих ваших ушей в виде одной волны. Однако эту волну можно разложить на множество более простых волн, каждая из которых имеет свою частоту, амплитуду и фазу. Это разложение является формой гармонического анализа.

Ряды Фурье

Ряды Фурье — это способ представления периодической функции в виде суммы простых синусоидальных и косинусоидальных волн. Это отправная точка гармонического анализа.

Периодическая функция f(x) с периодом 2π может быть представлена как:

f(x) = a_0/2 + Σ [a_n cos(nx) + b_n sin(nx)], (n=1 to ∞)

Здесь коэффициенты a_n и b_n вычисляются как:

a_n = 1/π ∫ от 0 до 2π f(x)cos(nx) dx
b_n = 1/π ∫ от 0 до 2π f(x)sin(nx) dx
синусоида

Визуализация рядов Фурье

Предположим, у нас есть простая прямоугольная волна. Чтобы разложить ее, используя ряды Фурье, у нас есть последовательность синусоидальных функций с разными частотами, которые складываются для формирования прямоугольной волны.

прямоугольная волна

Пример гармонического ряда

Иногда можно рассматривать волну как суперпозицию ее гармоник, а не как отдельные синусоидальные и косинусоидальные функции. Его самая простая форма:

f(x) = sin(x) + (1/3)sin(3x) + (1/5)sin(5x) + (1/7)sin(7x) + ...

Этот ряд показывает, как сложные сигналы могут формироваться из простых индивидуальных частот (гармоник).

Применение гармонического анализа

Обработка сигналов

Гармонический анализ играет важную роль в области обработки сигналов. Современная электроника использует преобразования Фурье для декодирования сигналов, сжатия аудио- и видеофайлов и многого другого.

Музыка и акустика

В музыке гармонический анализ помогает понять, как разные звуковые волны объединяются для создания гармонии. Музыканты используют этот анализ при настройке инструментов.

Квантовая механика

Некоторые концепции квантовой механики, такие как волновая функция, используют гармонический анализ для представления состояний и изучения поведения частиц.

Преобразование Фурье

Преобразование Фурье — это математическая концепция, которая преобразует функцию времени в функцию частоты.

F(k) = ∫ от -∞ до +∞ f(x)e^(-2πixk) dx

Полученная функция представляет собой частотный спектр исходной функции.

Частотный спектр

Теорема свертки

В гармоническом анализе теорема свертки важна для упрощения задачи нахождения свертки функции. В простых терминах:

Преобразование Фурье (f * g) = Преобразование Фурье f × Преобразование Фурье g

Эта дуальность между сверткой во временной области и умножением в частотной области упрощает многие вычисления в инженерии и физике.

Вейвлеты

Вейвлеты — это современные инструменты гармонического анализа, которые помогают анализировать данные с резкими изменениями. В отличие от преобразований Фурье, вейвлеты лучше подходят для сигналов, изменяющихся во времени.

Непрерывное вейвлет-преобразование:

C(a, b) = ∫ от -∞ до +∞ f(x)ψ((xb)/a) dx

Здесь ψ(x) — функция вейвлета, a — масштаб, b — положение.

Заключение

Гармонический анализ является неотъемлемой частью понимания математической основы различных явлений в науке и технике. От музыки, которую мы слушаем, до технологий, которые мы используем в повседневной жизни, гармонический анализ помогает нам понять сложные сигналы, разбивая их на основные компоненты.

Будь то использование рядов Фурье для периодических функций или вейвлетов для изменяющихся сигналов, результаты гармонического анализа незаменимы во многих областях. Достижения в гармоническом анализе продолжают раскрывать новые методы и приложения, доказывая его постоянную актуальность и потенциал.


Докторантура → 2.5


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (2.4.5)
Теорема Фубини
следующая (2.5.1) →
Ряд Фурье

комментарии 



Гармонический анализ

https://www.buddymath.com/phd/2.5?bmal=ru