Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

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Análise Harmônica


A análise harmônica é um ramo da matemática preocupada com a representação de funções ou sinais como superposições de ondas fundamentais, e o estudo e generalização das séries e transformadas de Fourier. Pode ser vista como uma exploração de como as funções podem ser decompostas em componentes mais simples, "harmônicos".

Introdução

Para entender a análise harmônica, vamos considerar um exemplo simples: imagine que você está ouvindo sua música favorita. O que você está realmente ouvindo é uma mistura complexa de diferentes sons que chegam aos seus ouvidos como uma única onda. No entanto, essa onda pode ser decomposta em várias ondas mais simples, cada uma com uma frequência, amplitude e fase diferentes. Esta decomposição é uma forma de análise harmônica.

Série de Fourier

A série de Fourier é uma maneira de representar uma função periódica como uma soma de ondas simples de seno e cosseno. É o ponto de partida da análise harmônica.

A função periódica f(x) com período 2π pode ser expressa como:

f(x) = a_0/2 + Σ [a_n cos(nx) + b_n sin(nx)], (n=1 to ∞)

Aqui, os coeficientes a_n e b_n são calculados como:

a_n = 1/π ∫ de 0 a 2π de f(x)cos(nx) dx
b_n = 1/π ∫ de 0 a 2π de f(x)sin(nx) dx
onda senoidal

Visualização da Série de Fourier

Suponha que temos uma onda quadrada simples. Para decompô-la usando uma série de Fourier, temos uma série de funções seno com diferentes frequências que se somam para formar uma onda quadrada.

onda quadrada

Exemplo de Série Harmônica

Às vezes, você pode olhar para uma onda como uma superposição de seus harmônicos, em vez de funções seno e cosseno separadas. Sua forma mais simples é:

f(x) = sin(x) + (1/3)sin(3x) + (1/5)sin(5x) + (1/7)sin(7x) + ...

Esta série mostra como sinais complexos podem ser construídos a partir de frequências simples e individuais (harmônicos).

Aplicações da Análise Harmônica

Processamento de sinais

A análise harmônica tem um papel importante no campo do processamento de sinais. Eletrônicos modernos usam transformadas de Fourier para decodificar sinais, compactar arquivos de áudio e vídeo, e muito mais.

Música e acústica

Na música, a análise harmônica ajuda a entender como diferentes ondas sonoras se combinam para criar harmonia. Músicos usam essa análise ao afinar instrumentos.

Mecânica quântica

Alguns conceitos em mecânica quântica, como a função de onda, usam a análise harmônica para representar estados e estudar o comportamento de partículas.

Transformada de Fourier

A transformada de Fourier é um conceito matemático que converte uma função de tempo em uma função de frequência.

F(k) = ∫ de -∞ a +∞ de f(x)e^(-2πixk) dx

A função resultante representa o espectro de frequências da função original.

Espectro de frequências

Teorema da Convolução

Na análise harmônica, o teorema da convolução é importante para simplificar o problema de encontrar a convolução de uma função. Em termos simples:

Transformada de Fourier de (f * g) = Transformada de Fourier de f × Transformada de Fourier de g

Essa dualidade entre convolução no domínio do tempo e multiplicação no domínio da frequência simplifica muitos cálculos em engenharia e física.

Wavelets

Os wavelets são ferramentas modernas da análise harmônica que ajudam a analisar dados com mudanças abruptas. Ao contrário das transformadas de Fourier, os wavelets são mais adequados para sinais que variam com o tempo.

A transformada wavelet contínua é:

C(a, b) = ∫ de -∞ a +∞ de f(x)ψ((xb)/a) dx

Aqui, ψ(x) é a função wavelet, a é a escala e b é a posição.

Conclusão

A análise harmônica é essencial para entender a base matemática de vários fenômenos na ciência e engenharia. Da música que ouvimos à tecnologia que usamos em nosso dia a dia, a análise harmônica nos ajuda a entender sinais complexos ao decompô-los em seus componentes básicos.

Seja usando séries de Fourier para funções periódicas ou wavelets para sinais variáveis, os insights proporcionados pela análise harmônica são inestimáveis em muitos campos. Avanços na análise harmônica continuam a descobrir novos métodos e aplicações, provando sua relevância contínua e potencial.


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