Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Análisis Armónico


El análisis armónico es una rama de las matemáticas que se ocupa de la representación de funciones o señales como superposiciones de ondas fundamentales, y el estudio y la generalización de series de Fourier y transformadas de Fourier. Se puede ver como una exploración de cómo las funciones se pueden descomponer en componentes "armónicas" más simples.

Introducción

Para entender el análisis armónico, considere un ejemplo simple: Imagine que está escuchando su canción favorita. Lo que realmente está escuchando es una mezcla compleja de diferentes sonidos que llegan a sus oídos como una sola ola. Sin embargo, esta ola se puede descomponer en muchas ondas más simples, cada una de las cuales tiene una frecuencia, amplitud y fase diferentes. Esta descomposición es una forma de análisis armónico.

Series de Fourier

La serie de Fourier es una forma de representar una función periódica como una suma de ondas senoidales y cosenoidales simples. Es el punto de partida del análisis armónico.

La función periódica f(x) con periodo 2π se puede expresar como:

f(x) = a_0/2 + Σ [a_n cos(nx) + b_n sin(nx)], (n=1 to ∞)

Aquí, los coeficientes a_n y b_n se calculan como:

a_n = 1/π ∫ desde 0 hasta 2π de f(x)cos(nx) dx
b_n = 1/π ∫ desde 0 hasta 2π de f(x)sin(nx) dx
onda senoidal

Visualización de Series de Fourier

Supongamos que tenemos una simple onda cuadrada. Para descomponerla usando una serie de Fourier, tenemos una serie de funciones seno con diferentes frecuencias que se suman para formar una onda cuadrada.

onda cuadrada

Ejemplo de Serie Armónica

A veces se puede ver una onda como una superposición de sus armónicos en lugar de funciones seno y coseno separadas. Su forma más simple es:

f(x) = sin(x) + (1/3)sin(3x) + (1/5)sin(5x) + (1/7)sin(7x) + ...

Esta serie muestra cómo las señales complejas se pueden construir a partir de frecuencias simples e individuales (armónicos).

Aplicaciones del Análisis Armónico

Procesamiento de señales

El análisis armónico desempeña un papel importante en el campo del procesamiento de señales. La electrónica moderna utiliza transformadas de Fourier para decodificar señales, comprimir archivos de audio y video, y mucho más.

Música y acústica

En la música, el análisis armónico ayuda a entender cómo diferentes ondas sonoras se combinan para crear armonía. Los músicos utilizan este análisis al afinar instrumentos.

Mecánica cuántica

Algunos conceptos en mecánica cuántica, como la función de onda, utilizan el análisis armónico para representar estados y estudiar el comportamiento de partículas.

Transformada de Fourier

La transformada de Fourier es un concepto matemático que convierte una función del tiempo en una función de frecuencia.

F(k) = ∫ desde -∞ hasta +∞ de f(x)e^(-2πixk) dx

La función resultante representa el espectro de frecuencias de la función original.

Espectro de frecuencias

Teorema de Convolución

En el análisis armónico, el teorema de la convolución es importante para simplificar el problema de encontrar la convolución de una función. En términos simples:

Transformada de Fourier de (f * g) = Transformada de Fourier de f × Transformada de Fourier de g

Esta dualidad entre la convolución en el dominio del tiempo y la multiplicación en el dominio de la frecuencia simplifica muchos cálculos en ingeniería y física.

Ondículas

Las ondículas son herramientas modernas de análisis armónico que ayudan a analizar datos con cambios abruptos. A diferencia de las transformadas de Fourier, las ondículas son más adecuadas para señales que varían en el tiempo.

La transformada continua de ondícula es:

C(a, b) = ∫ desde -∞ hasta +∞ de f(x)ψ((xb)/a) dx

Aquí, ψ(x) es la función ondícula, a es la escala y b es la posición.

Conclusión

El análisis armónico es integral para comprender la base matemática de varios fenómenos en ciencia e ingeniería. Desde la música que escuchamos hasta la tecnología que usamos en nuestra vida diaria, el análisis armónico nos ayuda a entender las señales complejas descomponiéndolas en sus componentes básicos.

Ya sea usando series de Fourier para funciones periódicas u ondículas para señales cambiantes, los conocimientos proporcionados por el análisis armónico son invaluables en muchos campos. Los avances en el análisis armónico continúan descubriendo nuevos métodos y aplicaciones, demostrando su continua relevancia y potencial.


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