Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Понимание математического анализа → Гармонический анализ ↓


Вейвлеты


Вейвлеты — это математические функции, которые разбивают данные на отдельные частотные компоненты и анализируют каждый компонент с разрешением, соответствующим его масштабу. Они применяются в различных областях науки и техники, включая обработку сигналов, сжатие данных и решение дифференциальных уравнений. Вейвлеты особенно полезны для обработки сигналов с резкими всплесками или переходными процессами.

Введение в вейвлеты

Математическая основа вейвлетов лежит в гармоническом анализе, который изучает функции или сигналы с точки зрения основных волн. Традиционный анализ Фурье позволяет разложить сигнал на синусоидальные и косинусоидальные компоненты. Однако этот метод ограничен в способности представлять локализованные явления, поскольку синус и косинус не равны нулю по всему диапазону. Вейвлеты преодолевают это ограничение, будучи локализованными как во временной, так и в частотной области.

Почему использовать вейвлеты?

Вейвлеты предоставляют временно-частотное представление сигнала, позволяя детально изучить интересующие области данных. Они обеспечивают как временную, так и частотную локализацию, что особенно важно для нестационарных сигналов. Например, в обработке сигналов вейвлеты могут использоваться для сжатия данных без потери важной информации при передаче или хранении.

Математическая формулировка

Математически, вейвлет-преобразование представляет функцию с помощью набора вейвлет-функций. Вейвлет-функция, обозначаемая как ψ(t), имеет нулевое среднее значение и локализована как во времени, так и в частоте. Вейвлет-преобразование сигнала f(t) задается следующим образом:

Wψ[f](a, b) = ∫ f(t) * ψa,b(t) dt

Здесь ψa,b(t) - это масштабированные и сдвинутые версии родительской вейвлет-функции ψ(t) :

ψa,b(t) = 1/√|a| * ψ((t-b)/a)

где a - это параметр масштаба, который растягивает или сжимает вейвлет, и b - это параметр сдвига, который перемещает его вдоль оси t.

Визуализация вейвлетов

Рассмотрим простые примеры для понимания свойств вейвлет-функций.

Возьмем вейвлет Хаара, который является одним из самых простых вейвлетов. Вейвлет Хаара ψ(t) определяется следующим образом:

ψ(t) = 1, если 0 ≤ t < 0.5 = -1, если 0.5 ≤ t < 1 = 0, в противном случае

Выше показана функция вейвлета Хаара. Видно, что она обладает кусочно-стационарной структурой. Она ненулевая только на интервале [0, 1]. Это свойство локализации делает её особенно полезной для анализа во временной области.

Вейвлет-преобразование

Существует два основных типа вейвлет-преобразований: непрерывное вейвлет-преобразование (CWT) и дискретное вейвлет-преобразование (DWT).

Непрерывное вейвлет-преобразование (CWT)

Непрерывное вейвлет-преобразование полезно для анализа локализованных переходных сигналов. Оно позволяет получить высоко детализированное описание данных как во временной, так и в частотной областях.

CWT(a, b) = ∫ f(t) ψa,b(t) dt

CWT отображает исходный сигнал в двумерную функцию по масштабу a и сдвигу b. Оно непрерывно как во времени, так и в масштабе, обеспечивая детализированный обзор сигнала.

Дискретное вейвлет-преобразование (DWT)

Дискретное вейвлет-преобразование работает с дискретными данными и эффективно для численных расчетов. Оно приводит к получению конечного числа коэффициентов, представляющих исходные данные.

DWT(n, m) = ∑ f[i] ψn,m[i]

В отличие от непрерывного вейвлет-преобразования, DWT обеспечивает нерекуррентный, эффективный способ разложения сигнала, что делает его полезным для сжатия данных и уменьшения шума.

Свойства вейвлетов

Вейвлеты имеют множество полезных свойств, включая:

  • Локализация: Вейвлеты локализованы как во времени, так и в частоте, что позволяет проводить точный временно-частотный анализ.
  • Ортогональность: Некоторое вейвлетное базисное множество ортогонально, что позволяет эффективно представлять данные без избыточности.
  • Мультиразрешение: Анализ сигнала на нескольких масштабах дает более полное представление, особенно полезное для переходных сигналов.

Применения вейвлетов

Гибкость и локализованный характер вейвлетов led к их применению в различных областях:

  • Сжатие данных: Вейвлеты используются в сжатии изображений и сигналов, поскольку они эффективно представляют быстрые изменения в данных.
  • Уменьшение шума: Вейвлеты могут отделять шум от важных особенностей в сигналах, способствуя чистой обработке данных.
  • Обработка изображений: Преобразование вейвлетов широко используется в задачах распознавания и улучшения характеристик.
  • Медицинская визуализация: В МРТ и других техниках визуализации вейвлеты помогают улучшить качество изображения и подавить шум.

Заключение

Вейвлеты предоставляют надежную основу для анализа широкого разнообразия сигналов и функций как во временной, так и в частотной областях. Они предоставляют передовые инструменты для разложения и восстановления сигналов, расширяя возможности традиционного гармонического анализа. В результате, вейвлеты служат основой многих современных приложений в обработке сигналов.


Докторантура → 2.5.4


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (2.5.3)
Теория распределений
следующая (3) →
Топология

комментарии 



Вейвлеты

https://www.buddymath.com/phd/2.5.4?bmal=ru