Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

Doutorado → Compreendendo a Análise Matemática → Análise Harmônica ↓


Wavelets


Wavelets são funções matemáticas que dividem dados em componentes de frequência individuais e analisam cada componente com uma resolução que corresponde à sua escala. Elas têm aplicações em muitos ramos da ciência e engenharia, incluindo processamento de sinais, compressão de dados e resolução de equações diferenciais. Wavelets são particularmente úteis para processar sinais que contêm picos ou transientes acentuados.

Introdução aos wavelets

A base matemática dos wavelets reside na análise harmônica, um ramo da matemática que estuda funções ou sinais em termos de ondas fundamentais. A análise de Fourier tradicional fornece uma maneira de decompor um sinal em componentes de seno e cosseno. No entanto, este método é limitado em sua capacidade de representar fenômenos localizados porque seno e cosseno são diferentes de zero em todos os lugares. Wavelets superam esta limitação ao serem localizadas tanto nos domínios do tempo quanto da frequência.

Por que usar wavelets?

Wavelets fornecem uma representação tempo-frequência do sinal, permitindo-nos focar em regiões interessantes dos dados. Elas oferecem localização tanto no tempo quanto na frequência, o que é particularmente importante para sinais não estacionários. Por exemplo, no processamento de sinais, os wavelets podem ser usados para comprimir dados sem perder informações essenciais durante a transmissão ou armazenamento.

Formulação matemática

Matematicamente, uma transformada wavelet é a representação de uma função por um conjunto de funções "wavelet". Uma função wavelet, denotada como ψ(t), possui média zero e é localizada tanto no tempo quanto na frequência. A transformada wavelet de um sinal f(t) é dada como:

Wψ[f](a, b) = ∫ f(t) * ψa,b(t) dt

Aqui, ψa,b(t) são as versões escalonadas e transladadas da wavelet base ψ(t) :

ψa,b(t) = 1/√|a| * ψ((t-b)/a)

onde a é o parâmetro de escala que estica ou comprime a wavelet, e b é o parâmetro de translação que a move ao longo do eixo t.

Visualização de wavelets

Vamos olhar alguns exemplos simples para entender as propriedades das funções wavelet.

Considere a wavelet de Haar, que é uma das funções wavelet mais simples. A wavelet de Haar ψ(t) é definida como:

ψ(t) = 1, se 0 ≤ t < 0.5 = -1, se 0.5 ≤ t < 1 = 0, caso contrário

O SVG acima mostra a função wavelet de Haar. Você pode ver que ela tem uma estrutura estacionária por partes. Ela é diferente de zero apenas no intervalo [0, 1]. Esta propriedade de localização torna-a particularmente útil para análise no domínio do tempo.

Transformada wavelet

Existem dois tipos principais de transformadas wavelet: transformada wavelet contínua (CWT) e transformada wavelet discreta (DWT).

Transformada wavelet contínua (CWT)

A transformada wavelet contínua é útil para analisar sinais transientes localizados. Ela fornece uma maneira de obter uma descrição altamente detalhada dos dados em ambos os domínios do tempo e da frequência.

CWT(a, b) = ∫ f(t) ψa,b(t) dt

A CWT mapeia o sinal original para uma função bidimensional de escala a e translação b. Ela é contínua tanto no tempo quanto na escala, proporcionando uma visão detalhada do sinal.

Transformada wavelet discreta (DWT)

A Transformada Wavelet Discreta opera em dados discretos e é eficiente para cálculos numéricos. Ela resulta em um número finito de coeficientes que representam os dados originais.

DWT(n, m) = ∑ f[i] ψn,m[i]

Ao contrário da transformada wavelet contínua, a DWT fornece uma maneira não redundante e eficiente de decompor um sinal, tornando-a útil para compressão e redução de ruído.

Propriedades dos wavelets

Wavelets possuem muitas propriedades úteis, incluindo:

  • Localização: Wavelets são localizados tanto no tempo quanto na frequência, possibilitando uma análise tempo-frequência precisa.
  • Ortogonalidade: Algumas bases wavelet são ortogonais, o que significa que podem representar dados de forma eficiente sem redundância.
  • Multirresolução: Analisar o sinal em múltiplas escalas fornece uma visão mais completa, o que é especialmente útil para sinais transientes.

Aplicações de wavelets

A flexibilidade e a natureza localizada dos wavelets levaram ao seu uso em diversas áreas:

  • Compressão de Dados: Wavelets são usados na compressão de imagens e sinais porque representam de forma eficiente mudanças rápidas nos dados.
  • Redução de ruído: Wavelets podem separar o ruído de características importantes nos sinais, facilitando o processamento de dados limpos.
  • Processamento de imagens: A transformada wavelet é amplamente utilizada em tarefas de reconhecimento e aprimoramento de características.
  • Imagem médica: Em ressonância magnética e outras técnicas de imagem, wavelets ajudam a melhorar a qualidade da imagem e a suprimir ruído.

Conclusão

Wavelets fornecem uma estrutura robusta para analisar uma ampla variedade de sinais e funções em ambos os domínios do tempo e da frequência. Elas oferecem ferramentas avançadas para decompor e reconstruir sinais, expandindo, em última análise, o alcance da análise harmônica tradicional. Como resultado, os wavelets servem como a espinha dorsal de muitas aplicações modernas de processamento de sinais.


Doutorado → 2.5.4


U
username
0%
concluído em Doutorado

← Anterior (2.5.3)
Teoria da distribuição
Próximo (3) →
Topologia

Comentários 



Wavelets

https://www.buddymath.com/phd/2.5.4?bmal=pt